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2013-05-28T02:15:04-03:00

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Olá, Felipe.

 

C(x) = 2x^2- 100x + 5000

 

A curva de  C(x)  no plano cartesiano é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o termo que acompanha  x^2  é positivo.

 

Como a parábola tem concavidade voltada para cima, concluímos que, no ponto onde a derivada da curva é zero, temos um mínimo. Por outro lado, se a concavidade fosse voltada para baixo, neste ponto onde a derivada é zero teríamos um máximo.

 

Vamos, portanto, derivar a função  C(x),  e igualar sua derivada a zero para obter o ponto mínimo  x^\star  da curva.

 

\frac{dC(x)}{dx}=4x-100=0 \Leftrightarrow 4x^{\star}=100 \Leftrightarrow \boxed{x^\star=25}

 

Obtivemos o ponto onde o custo é mínimo. Vamos agora calcular o valor deste custo:

 

C(x^\star) = 2(x^\star)^2- 100x^{\star} + 5000=2\cdot{25}^2-100\cdot25+5000=\\\\ =1250-2500+5000=\boxed{R\$\ 3.750,00}

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