Respostas

2014-04-06T13:06:32-03:00
I) Primeiramente temos que escrever as frações geratriz de cada uma das dízimas. Vou fazer o caso mais geral que pode ser usado nessa questão: seja a dízima 0,ababab..., onde esses a e b são algarismos quaisquer. Fazendo x = 0,ababab... teremos:

x=0,ababab\ldots\\100x=ab,ababab\ldots \\ \\ \mathrm{Subtraindo \ uma \ da \ outra}\\ \\ 99x=ab \Rightarrow \boxed{x=\frac{ab}{99}}

OBS.: O ab que apareceu na fração não é a vezes b, mas o número formado pelos algarismos a e b. Se a=4 e b=7 o numerador seria 47, não 4*7.

ii) Agora que temos o resultado acima podemos escrever as frações geratriz de todas as dízimas. Teremos:

0,292929\ldots \Rightarrow a=2 \ \mathrm{e} \ b=9 \Rightarrow 0,292929\ldots=\frac{29}{99}\\ \\ 0,222222\ldots \Rightarrow a=2 \ \mathrm{e} \ b=2 \Rightarrow 0,222222\ldots=\frac{22}{99}\\ \\0,555555\ldots \Rightarrow a=5 \ \mathrm{e} \ b=5 \Rightarrow 0,555555\ldots=\frac{55}{99}\\ \\0,333333\ldots \Rightarrow a=3 \ \mathrm{e} \ b=3 \Rightarrow 0,333333\ldots=\frac{33}{99}

iii) Feito isso, temos apenas que usar esses valores para calcular o que foi pedido:

0,292929\ldots-0,2222\ldots = \frac{29}{99}-\frac{22}{99} \Rightarrow \boxed{0,292929\ldots-0,2222\ldots = \frac{7}{99}}\\ \\ 0,5555\ldots+0,3333\ldots =\frac{55}{99}+\frac{33}{99}\Rightarrow \boxed{0,5555\ldots+0,3333\ldots =\frac{88}{99}}

E usando esses valores na expressão, que chamarei de E:

E=\frac{0,2929\ldots-0,2222\ldots}{0,5555\ldots+0,3333\ldots}\Rightarrow E=\frac{7/99}{88/99}\Rightarrow E=\frac{7}{99}.\frac{99}{88}\\ \\ \boxed{\boxed{E=\frac{7}{88}}}