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2014-04-06T18:27:18-03:00

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P.A~(a_{1},~a_{2},~a_{3},~a_{4})

A soma dos 4 é 16:

a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=16\\a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+(a_{1}+3r)=16\\4a_{1}+6r=16\\2*(2a_{1}+3r)=2*8\\2a_{1}+3r=8

O produto dos extremos é 7:

a_{1}*a_{4}=7\\a_{1}*(a_{1}+3r)=7\\a_{1}*a_{1}+3r*a_{1}=7\\(a_{1})^{2}+3a_{1}r=7\\3a_{1}r=7-(a_{1})^{2}
______________________

Voltando à primeira equação:

2a_{1}+3r=8

Multiplicando todos os membros por a₁:

a_{1}*2a_{1}+a_{1}*3r=a_{1}*8\\2(a_{1})^{2}+3a_{1}r=8a_{1}

Como 3a₁.r = 7 - (a₁)²:

2(a_{1})^{2}+7-(a_{1})^{2}=8a_{1}\\(a_{1})^{2}+7=8a_{1}\\(a_{1})^{2}-8a_{1}+7=0

Resolvendo a equação do segundo grau por soma e produto:

S=-b/a=-(-8)/1=8\\P=c/a=7/1=7

Raízes: 2 números que quando somados dão 8 e quando multiplicados dão 7

(a_{1})'=1\\(a_{1})''=7
______________________

Se a₁ = 1:

3a_{1}r=7-(a_{1})^{2}\\3*1*r=7-1^{2}\\3r=6\\r=6/3\\r=2

a_{1}=1\\a_{2}=a_{1}+r=1+2=3\\a_{3}=a_{2}+r=3+2=5\\a_{4}=a_{3}+r=5+2=7

Se a₁ = 7:

3*7*r=7-7^{2}\\21r=7-49\\21r=-42\\r=-42/21\\r=-2

a_{1}=7\\a_{2}=a_{1}+r=7-2=5\\a_{3}=a_{2}+r=5-2=3\\a_{4}=a_{3}+r=3-2=1

Veja que os números são os mesmos, o que muda é a ordem de aparição na sequência.

Resposta: Os números são 1, 3, 5, 7
1 4 1
2014-04-06T20:27:52-03:00

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Quatro números em progressão aritmética:

(a _{1},a _{2},a _{3},a _{4})

Agora vamos expor estes termos de uma forma genérica:

(a _{1},(a _{1}+r),(a _{1}+2r),(a _{1}+3r))

O enunciado diz que a soma desses números em progressão aritmética é 16, então somemos os termos genéricos desta P.A.:

a _{1}+(a _{1}+r)+(a _{1}+2r)+(a _{1}+3r)=16

4 a_{1}+6r=16  simplificando por 2, temos:

2 a_{1}+3r=8

Isolando r em função de a1, temos:

r= \frac{8-2a _{1} }{3} \left (I)


E o produto dos extremos é 7:

a _{1}(a _{1}+3r)=7

( a_{1} ) ^{2}+3a _{1}r=7 \left (II)

Agora substituímos r da equação I, na soma, na equação II, do produto:

 (a _{1}) ^{2}+3a _{1}( \frac{8-2a_{1} }{3})=7

(a _{1}) ^{2}+ \frac{24a _{1}-(6a_{1}) ^{2}  }{3}=7

(3a _{1}) ^{2}+24a _{1}-(6a _{1}) ^{2}=21

(3a _{1}) ^{2}+24a _{1}-21=0

Simplificando por 3, temos:

(a _{1}) ^{2}-8a _{1}+7=0     (Equação do 2° grau)

Ao resolvermos esta equação do 2° grau por Báskara, obtemos as raízes

a _{1}\left '=1:::a _{1} \left ''=7

Substituindo a1' no sistema da 1ª equação, temos:

2a _{1}+3r=8

2*1+3r=8

2+3r=8

3r=6

r=2

Montando a P.A. a partir da razão e do 1° termo, temos que:

P.A.(1,3,5,7)

Se fizermos o mesmo procedimento com a1'', teremos a mesma P.A.



Espero ter ajudado e bons estudos :)