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  • Usuário do Brainly
2013-06-03T01:39:43-03:00

Seja \psi=1^{2~007}+2^{2~007}+3^{2~007}+\dots+2~006^{2~007}+2~007^{2~007}

 

Observe que:

1^{2~007}\equiv1\pmod{5}

2^{2~007}\equiv3\pmod{5}


3^{2~007}\equiv2\pmod{5}

4^{2~007}\equiv4\pmod{5}

5^{2~007}\equiv0\pmod{5}

6^{2~007}\equiv1\pmod{5}

Desta maneira, há um padrão, formado por 5 números.

Desse modo, esta sequência: 1, 3, 2, 4, 0, repete-se 401 vezes, uma vez que 2~007=5\times401+2 e, a soma dos números deste padrão é 1+3+2+4+0=10.

Logo, podemos afirmar que:

\psi\equiv1^{2~007}+2^{2~007}+\dots+2~007^{2~007}\equiv401\times10+1+3\equiv4~014\equiv4\pmod{5}

E, portanto, o resto da divisão de \psi por 5 é 4.