Respostas

2014-04-13T23:59:49-03:00
I) O que a gente tem que fazer inicialmente é descobrir as raízes de cada um dos polinômios do numerador e denominador e fatorá-los:

I) 2x² + 5x - 3 = 0

Δ = 5² - 4.2.(-3) => Δ = 25+24 => Δ = 49

x=\frac{-5\pm\sqrt\Delta}{2.2}\Rightarrow x=\frac{-5\pm7}{4}\\ \\ \boxed{x=-3 \ \mathrm{ou} \ x=\frac12}

Portanto 2x² + 5x - 3 = (x+3)(2x-1)

II) 2x² - 5x + 2

Δ = (-5)² - 4.2.2 => Δ = 25-16 => Δ = 9

x=\frac{5\pm\sqrt\Delta}{2.2}\Rightarrow x=\frac{5\pm3}{4}\\ \\ \boxed{x=2 \ \mathrm{ou} \ x=\frac12}

Daí 2x² - 5x + 2 = (x-2)(2x-1)

ii) Agora que os polinômios foram fatorados podemos substituir essas fatorações no limite, afim de eliminar a indeterminação:

\lim\limits_{x\to\frac12}\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2}=\lim\limits_{x\to\frac12}\frac{(x+3)(2x-1)}{(x-2)(2x-1)}\\ \\ \lim\limits_{x\to\frac12}\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2}=\lim\limits_{x\to\frac12}\frac{x+3}{x-2}\\ \\ \lim\limits_{x\to\frac12}\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2}= \frac{\frac12+3}{\frac12-2}=\frac{\frac72}{\frac{-3}{2}}\\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x\to\frac12}\frac{2x^2+5x-3}{2x^2-5x+2}=-\frac{7}{3}}}
9 5 9