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2014-04-23T21:25:13-03:00

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I) Concorda comigo que se dividirmos tanto o numerador como o denominador de uma fração o resultado dela não irá se alterar? Pois bem, façamos isso: vamos dividir tanto o numerador quando o denominador dessa fração por \cos^3x para ver o que obtermos:

\frac{1}{\cos^3x}.(\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x)=\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x}{\cos^3x}+\frac{\cos^3x}{\cos^3x}=\mathrm{tg}^3\hspace{0,2mm}x+1

O denominador é a mesma coisa, mudando apenas o sinal; temos, então, que o denominador após a divisão é \mathrm{tg}^3\hspace{0,2mm}x-1.

ii) Como o valor da fração não se alterou após esse procedimento temos o seguinte:

\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}= \frac{\mathrm{tg}^3\hspace{0,2mm}x+1}{\mathrm{tg}^3\hspace{0,2mm}x-1}

Mas perceba que temos o valor da tangente de x, portanto vamos substituí-lo:

\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=
 \frac{(\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}x)^3+1}{(\mathrm{tg}\hspace{0,2mm}x)^3-1}\\ \\ \frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=
 \frac{(\sqrt[3]{3})^3+1}{(\sqrt[3]{3})^3-1}\\ \\ \frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=
 \frac{3+1}{3-1}

\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=\frac42\\ \\ \boxed{\boxed{\frac{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x+\cos^3x}{\mathrm{sen}^3\hspace{0,2mm}x-\cos^3x}=2}}
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2014-04-23T21:28:50-03:00

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tg~x = \sqrt[3]{3}\\sen~x/cos~x=\sqrt[3]{3}\\sen~x=cos~x*\sqrt[3]{3}\\(sen~x)^{3}=(cos~x*\sqrt[3]{3})^{3}\\sen^{3}x=cos^{3}x*3\\sen^{3}x=3cos^{3}x

(sen^{3}x+cos^{3}x)/(sen^{3}x-cos^{3}x)=(3cos^{3}x+cos^{3}x)/(3cos^{3}x-cos^{3}x)\\(sen^{3}x+cos^{3}x)/(sen^{3}x-cos^{3}x)=4cos^{3}x/(2cos^{3}x)\\(sen^{3}x+cos^{3}x)/(sen^{3}x-cos^{3}x)=4/2\\(sen^{3}x+cos^{3}x)/(sen^{3}x-cos^{3}x)=2