Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:
 Altura: H(t) = 1 + (0,8) . log2 (t + 1)
 Diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) . 2 ( t / 7)
 Com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.
c) A árvore atingiu 4,2 m. Determine quantos anos se passaram.

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Respostas

2014-04-24T21:06:35-03:00
A) 
No instante em que são plantadas, o tempo t = 0. 
Assim, 

Altura: 
H(t) = 1 + (0,8)LOG2 (t + 1) 
H(0) = 1 + (0,8)LOG2 (0 + 1) 
H(0) = 1 + (0,8)LOG2 (1) 
Vamos pegar só o logarítmo para resolver antes: 
LOG2 (1) = x 
1 = 2^x 
Assim, x só pode ser zero, porque qualquer coisa elevada a zero dá 1. Assim: 
LOG2 (1) = 0 
Voltando ao problema: 
H(0) = 1 + (0,8)x0 
H(0) = 1 metro 

Diâmetro: 
D(t) = (0,1).2^ t/7 
D(0) = (0,1).2^ 0/7 
D(0) = (0,1).2^0 
D(0) = (0,1).1 = 0,1 metro X 100 = 10 centímetros. 

b) 
Como você tem a altura, você precisa determinar o tempo t para que a árvore atinja esta altura. Assim, 
H(t) = 1 + (0,8)LOG2 (t + 1) 
3,4 = 1 + (0,8)LOG2 (t + 1) 
3,4 - 1 = (0,8)LOG2 (t + 1) 
2,4 / 0,8 = LOG2 (t + 1) 
3 = LOG2 (t + 1) 
2^3 = t + 1 
8 = t + 1 
t = 7 anos. 

Agora colocamos este valor para determinar D: 
D(t) = (0,1).2^ t/7 
D(7) = (0,1).2^ 7/7 
D(7) = (0,1).2^1 
D(7) = (0,1).2 = 0,2 metros x 100 = 20 centímetros 
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