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A melhor resposta!
2013-06-10T23:25:24-03:00

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Gab,

 

Faça a seguinte mudança de variável:

 

u=\frac1{x-1} \Rightarrow \\\\ \begin{cases} u(x-1)=1 \Rightarrow x-1 = \frac1{u} \Rightarrow x = \frac1{u}+1\\\\ \Rightarrow x^3=\frac1{u^3} + \frac3{u^2} + \frac3{u} + 1\\\\ \Rightarrow du=-\frac1{(x-1)^2}dx\end{cases} \\\\\\ \Rightarrow \int\frac{x^3+x+1}{(x-1)^2}\,dx = \int[\frac{x^3}{(x-1)^2} + \frac{x}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x-1)^2}]\,dx=

 

=\int\frac{x^3}{(x-1)^2}\,dx + \int\frac{x}{(x-1)^2}\,dx + \int\frac{1}{(x-1)^2}\,dx=\\\\ =\int-(\frac1{u^3} + \frac3{u^2} + \frac3{u} + 1)du+\int-(\frac1{u}+1)du+\int-du=\\\\ =-\int u^{-3}du-3\int u^{-2}du-3\int u^{-1}du-\int du-\int u^{-1}du - \int du- \\ - \int du

 

Daqui prá frente a bola é sua hehe... ;D

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  • Usuário do Brainly
2013-06-10T23:48:34-03:00

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 Apesar de não ter sido solicitado, segue também minha contribuição:

 

Efetuando a divisão concluímos que:

 

x^3 + x + 1 = (x^2 - 2x + 1)(x + 2) + (4x - 1)

 

 Portanto, a integral...

 

\int \frac{(x^2 - 2x + 1)(x + 2) + (4x - 1)}{x^2 - 2x + 1} dx = \\\\\\ \int \frac{(x- 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} dx + \int \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} dx =

 

 Na segunda integral (um pouca mais complicada), podemos aplicar uma fração parcial, veja:

 

\frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{A(x - 1) + B}{(x - 1)^2} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{Ax - A + B}{(x - 1)^2} \begin{cases} Ax = 4x \Rightarrow \boxed{A = 4} \\ - A + B = - 1 \Rightarrow \boxed{B = 3}\end{cases} \\\\\\ \frac{4x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{4}{x - 1} + \frac{3}{(x - 1)^2}

 

 Enfim,

 

\int \frac{(x- 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} dx + \int \left (\frac{4}{x - 1} + \frac{3}{(x - 1)^2} \right ) dx = \\\\\\ \int (x + 2) dx + \int \frac{4}{x - 1} dx + \int \frac{3}{(x - 1)^2} dx = \\\\\\ \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \cdot \int \frac{1}{x - 1} dx + 3 \cdot \int \frac{1}{(x - 1)^2} dx = \\\\\\ \boxed{\boxed{\frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln |x - 1| - \frac{3}{(x - 1)} + C}}

 

 

 

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