Num trapezio ABCD cuja base maior é AB=b e a base menor é Cd=b' b>b',os lados não paralelos são SD=a e BC=c.prolongam-se os lados AD e BC que se cortam em O.traça-se a bissetriz que corta Cd em E e AB em F.
1)Calcule os segmentos OA,OB,OC e OD.
2)Mostre que ED/EC=FA/FB
3)Determine a medida dos segmentos FA e EC

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Respostas

2014-04-25T17:56:20-03:00
1) DC//AB, pois ABCD é trapézio. Prolongando os lados AD e BC obtemos um triângulo qualquer OAB e outro semelhante ODC. * Prova : Já que DC//AB, então o ângulo OAB = ODC e OBA = OCD , pois são ângulos correspondentes. Sendo o ângulo O comum, então satisfaz a proposição.   Então temos OA/OD = OB/OC = DC/AB. Como AD = a , BC = c , DC = b' e AB = b, então: OD + a/ OD = OC + c/OC = b'/b.   Então OD + a/ OD = b'/b e OC + c/OC = b'/b. OD.b + ab = OD.b' OD = ab/b'-b De modo análogo: OC = cb/b'-b   OA = OD+ a e OB = OC + c , então OA = ab/b'-b + a OA = ab'/b'-b OB de modo análogo é igual a cb'/b'-b. 2) Hipótese : ED/EC=FA/FB; Com ODE ~ OAF e OEC ~ OFB * Prova : O/2 é comum e DC//AB e formam ângulos correspondentes. EC/FB = OE/OF(K) e ED/AF= OE/OF(K) ED/AD = EC/FB ED/EC = FA/FB C.Q.D 3) Pelo teorema das bissetrizes internas ( provado por semelhança de triângulos ), temos: FA/OA = FB/OB Então FA/ ab'/b'-b = FB = cb'/b'-b FA/cb' = FB/ab' FA/a = FB/cFA/a = b - FA/c você encontra FA = ab/a+c O mesmo pode ser aplicado no triângulo ODC já que OE é bissetriz interna.