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2014-04-25T14:01:37-03:00
Dada a equação x³-y³=1 e admitindo que esta equação defina uma função f tal que y = f(x), prove que y'' = -2x / y^5
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tem que fazer por derivação implícita.
aplicando d/dx na equação
dx³/dx - dy³/dx = d1/dx
3x² - 3y²dy/dx = 0
dy/dx = 3x²/3y²

dy/dx(ou y') = x²/y²

fazemos a mesma coisa para y', pois
dy'/dx = y"
aplicando d/dx
dy'/dx = d(x²/y²)/dx usamos a regra da divisão de funções : (u'v - uv')/v²
y" = (2xy² - x²2ydy/dx) / y


veja de dy/dx = x²/y² lá em cima
y" = (2xy² - 2x²y.x²/y²) / y
⁴ agora é trabalho algébrico
y" = (2xy² - 2x⁴/y) / y⁴ (multiplicando numerador e denominador por y)
y" = (2xy³ - 2x⁴) / y

lembra lááá em cima a 1ª equação : x³ - y³ = 1, pois então
y³ = x³ - 1
y" = [2x(x³-1) - 2x⁴] / y
finalmente, anulando 2x

y" = -2x /
y

















alguns expoentes 4 e 5 sairam na linha seguinte, mas acho que dá prá entender.