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2014-04-26T17:08:55-03:00

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Olá, Robertotf.

Diz-se que uma função real f(x) é limitada se existe um valor real constante M\geq0 tal que:

|f(x)|\leq M,~~\forall x\in D_f

Como [g(x)]^2+[f(x)]^2=2, temos, simultaneamente, que:

\begin{cases}
[g(x)]^2=2-[f(x)]^2\Rightarrow [g(x)]^2\leq2\Rightarrow |g(x)|\leq\sqrt2\\
[f(x)]^2=2-[g(x)]^2\Rightarrow [f(x)]^2\leq2\Rightarrow |f(x)|\leq\sqrt2
\end{cases}

Demonstramos, acima, portanto, que as funções fg são limitadas.

Observe agora a propriedade dos limites que enunciaremos a seguir.
Do teorema do confronto ou teorema do "sanduíche" decorre a seguinte propriedade dos limites:

"Sejam duas funções fg de contra-domínio real. Se f é limitada, e se \lim\limits_{x\to a} g(x)=0, então \lim\limits_{x\to a} f(x)g(x)=0."

Aplicando esta propriedade aos exercícios, temos que os limites dos itens "a" e "b" são ambos iguais a zero, pois:

1) \lim\limits_{x\to0}x^5=0 e \lim\limits_{x\to3}\sqrt{x^3-27}=0;

2) as funções fg são limitadas.
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