Questão da OBM de 2002, primeira fase, nível 3. Nível de dificuldade entre médio e difícil.

Seja f uma função real de variável real que satisfaz a condição:

f(x)+2f\left(\frac{2002}{x}\right)=3x

para x>0. O valor de f(2) é igual a:

a) 1000
b) 2000
c) 3000
d) 4000
e) 6000

1
nao perai, 6000
vou refazer a conta, por causa de um 2 deu uma maior confusao
deu 2000, agora ta certo
3 respostas diferentes. Qual delas é a certa? :P
Siga seu kokoro e responda :D
2000, e pq eu me perdi na conta nas outras pq esqueci de um 2 multiplicando ai depois lembrei dele,

Respostas

2014-05-01T19:35:14-03:00
Vou responder aqui, veja se está certo. Caso não o Dexter Exclui.

Primeiro descobrimos quem é o f(2):

f(2)+2f(\frac{2002}{2})=3*2

f(2)=6-2f(1001)

Pronto, agora descobrimos quem é o f(1001)

f(1001)+2f(\frac{2002}{1001})=3*1001

f(1001)=3003-2f(2)

Substituindo o f(2) que encontramos antes nesta equação fica:

f(1001)=3003-2(6-2f(1001)

f(1001)=3003-12 + 4f(1001)

f(1001)=2991 + 4f(1001)

f(1001)-4f(1001)=2991

-3f(1001)=2991

Multiplicando os dois lados por (-1)
3f(1001)=-2991

f(1001)=\frac{-2991}{3}

f(1001)=-997}

Pronto descobrimos quem é f(1001), agora basta substituir na equação do f(2):

f(2)=6-2f(1001)

f(2)=6-2(-997)

f(2)=6+1994

f(2)=2000

Letra B.
1 5 1
Poderia ter menos trabalho, mas não deixa de estar certo :D
ha ha ha, foi a primeira que pensei