Respostas

2014-05-04T23:25:59-03:00
Equação trigonométrica... pense num assunto delicado...

i) Vamos, primeiramente, fatorar o primeiro membro dessa equação

2\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x.\cos x-\cos x=0\\ \\ \cos x(2\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x-1) =0

Para que um produto de dois fatores seja 0 temos que um dos fatores vale 0. Ou seja:

\boxed{\cos x=0} \ \mathrm{ou} \ \boxed{2\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x-1=0}

ii) Vamos trabalhar com cada uma das novas equações, as que encontramos acima, separadamente:

a) \cos x=0

Essa é bem simples de se resolver. Vou colocar logo o resultado dela:

\boxed{S_1=\left\{x\in\mathbb{R}\left| x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k\in\mathbb{Z}\right\}\right.}

(Como são duas equações novas teremos dois conjuntos solução diferentes, por isso vou diferenciar um do outro)

b) 2\mathrm{\sen}\hspace{0,2mm}x-1=0\Rightarrow \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x=\frac12

Essa já é um pouco mais complicada de se resolver... Tu olha no material do teu professor ou professora pra ver como ele resolve essa equação. Vou só colocar aqui o resultado, o conjunto solução:

\boxed{S_2=\left\{x\in\mathbb{R}\left|x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \mathrm{ou} \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\right\}\right.}

iii) Pra terminar, o conjunto solução da equação inicial é a união dos dois conjuntos solução encontrados acima, ou seja:

\boxed{\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\left|x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ 
\mathrm{ou} \ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi \ \mathrm{ou} \ x=\frac{\pi+2k\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\right\}\right.}}
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Coloquei o kπ na fração na solução final só pra deixar todos os termos com k da mesma forma, 2kπ. Poderia ter deixado fora também, não estaria errado, é só questão de estética mesmo :D