Se x e y são números naturais ...Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 115 e m.d.c(y, x) = 214, podemos dizer que o resto da divisão de xy por 107 é:

(A) é divisível por 2
(B) é divisível por 11
(C) é divisível por 1.568
(D) é divisível por 11.280
(E) todas as alternativas anteriores

1
Sim...
e no gabarito tá escrito que é a letra ( e )
O enunciado não faz sentido nenhum, já que o mmc é maior que o mdc, mas se ignorar esse fato a resposta é E mesmo '-'
Aqui essa é outra questão : Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 154 e m.d.c(y, x) = 2, podemos dizer que xy:

(A) é um número primo
(B) é um número ímpar
(C) é maior que 500
(D) é divisível por 11
(E) é múltiplo de 15
é o mesmo modelo,é porque quero entender,como faz

Respostas

A melhor resposta!
2014-05-08T23:49:31-03:00
SESSÃO ESPECIAL: DUAS QUESTÕES PELOS PONTOS DE UMA. SÓ HOJE!

Lembra da prova real da divisão? Quando se tem um dividendo D e queremos dividi-lo por um divisor d encontramos um quociente q e resto r. Tu sabe se fez a divisão corretamente se

D=d.q+r

Vou usar essa identidade acima nas duas questões. Quando eu citar "identidade" nas resoluções falo dessa coisinha acima ;D

1- Dizemos que d é divisor de um número N, ou que N é divisível por d, se o resto da divisão de N por d é 0. mdc significa "máximo divisor comum", portanto o mdc de dois números é um divisor desses dois números, ou seja

mdc(a,b)=d\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=d.q_1 \\ b=d.q_2\end{array}\right.

Na questão temos que a=y,\ b=x e d=214=2.107. Pelo que disse acima temos que:

mdc(y,x)=214\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=214q_1\\ x=214q_2\end{array}\right.

Daí agora podemos calcular o produto xy e dividi-lo por 107:

x.y=214q_2.214q_1\Rightarrow \boxed{xy=107.(2.214q_1q_2)}

O que o resultado acima quer dizer? Se fizermos D=xy, d=107 e q=2.214q_1q_2 na identidade encontramos que o resto só pode ser 0. E é bem fácil ver que 0 é divisível por qualquer número, menos por ele mesmo, o que significa que o resto da divisão de xy por 107 é divisível por 2, 11, 1568 e 11280.

R: (E) todas as alternativas anteriores

________________________________________________________________


2- Existe uma igualdade bastante interessante na matemática que trata justamente do mmc como do mdc, que é essa:

\boxed{mdc(a,b).mmc(a,b)=a.b}

Fazendo a=y[tex], [tex]b=x e substituindo o que foi dado teremos:

mdc(y,x).mmc(y,x)=y.x\Rightarrow 2.154=xy\Rightarrow xy=308

Analisando as alternativas vemos que a única que é verdade é a alternativa d.

R: (D) é divisível por 11
2 5 2