Respostas

2014-05-09T09:48:06-03:00
Veja que são duas parábolas com concavidade prá cima com intersecção nas raizes (0 e 2 ). A área pedida é a diferença entre as duas (em valor absoluto)
y= x² - 2x
y = 0 ==> x = 0 ou x = 2
A1 =
∫(x² - 2x)dx [0 ; 2]
A1 = (x³/3 - x²) [0 ; 2]
A1 = 8/3 - 4 = -4/3

y= -4x + 2x²
y = 0 ==> x = 0 ou x = 2
A2 =
∫(-4x + 2x²) [0 ; 2]
A2 = (-2x² + 2x³/3) [0; 2]
A2 = -8 + 16/3 =  - 8/3

A = 8/3 - 4/3 = 4/3 u.a. (resp)


2014-05-09T09:51:49-03:00
Y = x² - 2x  e  y = - 4x + 2x²

x² - 2x = - 4x + x²
x² - 2x² = - 4x + 2x
-x² = - 2x
- 2x + x² = 0  ⇒ Organizando:  x² - 2x = 0

Fórmula de Báskara: a = 1  b = -2   c = 0

Δ = b² - 4*a*c
Δ = (-2)² - 4*1*0
Δ = 4
√4 = 2

x =  \frac{- b +- √Δ}{2*a}

x =  \frac{- (-2) + -  \sqrt{Δ} }{2*1}

x =  \frac{- (-2) + - 2}{2}

x' =  \frac{+2+2}{2}  ⇒  \frac{4}{2}  ⇒ 2

x'' =  \frac{+2 - 2}{2}  ⇒  \frac{0}{2}  ⇒ 0

Portanto o intervalo será entre 0 e 2:
0≤x≤2 ⇒ x = 1

y = x² - 2x
y = (1)² - 2*1
y = -1

y = - 4x + 2x²
y = - 4*1 + 2*(1)²
y = -2

⇒ x² - 2x ≥ - 4x + 2x²

 \int\limits^0_2 {x² - 2x - (-4x + 2x²)} \, dx

 \int\limits^0_2 {x² - 2x + 4x - 2x²} \, dx

 \int\limits^0_2 {x²} \, dx -  \int\limits^0_2 {2x} \, dx  +  \int\limits^0_2 {4x} \, dx -  \int\limits^0_2 {2x²} \, dx

 \frac{x³}{3}  -  \frac{2x²}{2}  +  \frac{4x²}{2}  -  \frac{2x³}{3} ]0 a 2

Substituindo temos:


((0)³/3 - 2*(0)²/2 + 4*(0)²/2 - 2*(0)³/3) - ((2)³/3 - 2*(2)²/2 + 4*(2)²/2 - 2*(2)³/3)

0 - (8/3 - 4 + 8 - 16/3)

8/3 + 4 - 8 + 16/3

 \frac{8 + 12 - 24 + 16}{3}  \frac{12}{3} = 4