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2014-05-14T00:25:01-03:00

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log _{2}x+4log _{x}8=8


Condição de existência: \begin{cases}x>0~~para~o~logaritmando\\x>0~~e~~x \neq 1~~para~a~base
\end{cases}

Imposta a condição de existência, vemos que a equação está sujeita à duas bases, (2) e (x), então vamos aplicar a propriedade de mudança de base:

\boxed{log _{b}c= \frac{logb}{logc}}

log _{2}x+4log _{x}8=8\\\\
log _{2}x+ 4(\frac{log _{2}8 }{log _{2}x })=8

Usando a definição de que log _{2}8=3 , temos que:

log _{2}x+4( \frac{3}{log _{2}x })=8

Utilizando uma variável auxiliar, fazendo log _{2}x=y , teremos:

y+4( \frac{3}{y})=8\\\\
y+ \frac{12}{y}=8\\\\
(y*y)+12=8*y\\
y ^{2}+12=8y\\
y ^{2}-8y+12=0\\\\
\Delta=b ^{2}-4ac~\to~\Delta=(-8) ^{2}-4*1*12~\to~\Delta=16\\\\
y= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}~\to~y= \frac{-(-8)\pm \sqrt{16} }{2*1}~\to~y= \frac{8\pm4}{2}\begin{cases}y'= \frac{8-4}{2}~\to~y'=2\\\\
y''= \frac{8+4}{2}~\to~y''=6  \end{cases}

Retomando a variável original, onde log _{2}x=y , teremos

para y=2, vem:

log _{2}x=2\\
x=2 ^{2}\\
x=4


para y=6, vem:

log _{2}x=6\\
x=2 ^{6}\\
x=64

Valores que atendem sem restrição alguma à condição de existência, portanto:


\boxed{S=\{4,~64\}}



Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos xD
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