Dê o domínio da função,em cada caso:

A)f(x) = log 1/2 log 2(x²-1)

B)f(x)= log log (x² + x +2)

C) f(x)= √log(x²-x-1)

D)f(x)= log log(6x²-13x+7)

Se possível,envie o passo a passo.

P.S: recompensaria com mais pontos,se eu pudesse.

Boa noite!

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Respostas

A melhor resposta!
2013-06-21T17:39:38-03:00

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Olá, AgenteRJ.

A função logarítmica está definida apenas para logaritmandos maiores que zero.

 

Explico:

 

\text{Se }a^b=c,\text{com }a>0,\text{ ent\~ao necessariamente devemos ter }c>0,

\text{ pois n\~ao \'e poss\'ivel }a^b\leq0,a>0,\text{ para nenhum valor de }b.

 

\text{Como }a^b=c \Rightarrow b=\log_ac,\text{ ent\~ao}:

\log_ac\text{ existe apenas se }c>0.

 

\text{Em outras palavras, para }a>0\ \ D(\log_ac)=\{c\in\mathbb{R}|c>0\}, \text{ sendo}\\ D\text{ o dom\'inio}.

 

Os domínios de cada uma das funções do exercício, portanto, são os subconjuntos dos números reais tais que seus respectivos logaritmandos sejam maiores que zero.

 

_________________________________________________________

 

A)\ f(x) = \log \frac12 \log 2(x\²-1)\\\\ x^2-1=(x+1)(x-1)

 

(x+1)(x-1)>0\\\\ \underline{\text{An\'alise do sinal}}:\\\\ .....(-).......-1...(+)....|.....(+)........\ (x+1) \\ .....(-)...........|....(-)....1....(+)........\ (x-1) \\ .....(+).......-1...(-)....1....(+)........\ (x+1)(x-1)

 

\therefore\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}|x<-1\text{ ou }x>1\}}

_________________________________________________________

 

B)\ f(x)= \log \log (x\² + x +2)

 

Por causa do outro logaritmo, devemos ter:

 

\log(x^2+x+2)>0 \Rightarrow x^2+x+2>1 \Rightarrow x^2+x+1>0\\\\

 

Como \Delta=1-4=-3<0, não há raízes.


Como a parábola tem concavidade voltada para cima, então:


x^2+x+1>0,\forall x


\therefore\boxed{D=\mathbb{R}}

__________________________________________________________

 

C)\ f(x)= \sqrt{\log(x\²-x-1)}

 

Por causa da raiz quadrada, devemos ter:

 

\log(x\²-x-1)\geq0 \Rightarrow x\²-x-1\geq1 \Rightarrow x^2-x-2\geq0

 

Raízesx=\frac{1\pm\sqrt9}2=2\text{ ou }-1

 

Como é uma parábola com concavidade para cima, então entre as raízes temos:

 

x^2-x-2\leq0 \Rightarrow \boxed{D=\{x\in\mathbb{R}|x\leq-1\text{ ou }x\geq2\}}

________________________________________________________________

 

D)\ f(x)= \log \log(6x\²-13x+7)

 

Por causa do outro logaritmo, devemos ter:


\log(6x^2-13x+7)>0 \Rightarrow 6x^2-13x+7>1 \Rightarrow 6x^2-13x+6>0

 

Raízes:


x=\frac{13\pm\sqrt{169-144}}{12}=\frac32\text{ ou }\frac12


Como é uma parábola com concavidade para cima, então entre as raízes temos:

 

6x^2-13x+6\leq0 \Rightarrow \boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}|x<\frac12\text{ ou }x>\frac32\right\}}

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