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2014-05-16T06:52:34-03:00

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log _{3}(2x-1)-log _{3}(x-2)=1


Condição de existência: \begin{cases}2x-1>0~~~~~x-2>0\\
2x>1~~~~~~~~~~x>2~~~~~~~~\to~logaritmando\\
x>1/2\end{cases}

Aplicando o logaritmo do quociente

log _{a}b-log _{a}c~\to~log _{a}( \frac{b}{c})    , teremos:

log _{3}( \frac{2x-1}{x-2})=1

Agora vamos aplicar a definição de logaritmos:

 \frac{2x-1}{x-2}=3 ^{1}\\\\
 \frac{2x-1}{x-2}=3\\\\
2x-1=3(x-2)\\
2x-1=3x-6\\
2x-3x=-6+1\\
-x=-5~~~~~*~~~~~(-1)\\
~~~~x=5

Vemos portanto que não há nenhuma restrição, para com a condição de existência, portanto:


\boxed{S=\{5\}}

_______________________________________

log _{2}(x-1)+log _{2}(2x+2)=4


Restrições: \begin{cases}x-1>0~~~~~~~2x+2>0\\
x>1~~~~~~~~~~~~2x>-2\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x>-1\end{cases}

Como a equação acima é do tipo produto, vamos aplicar a p1:

log _{a}b+log _{a}c~\to~log _{a}(b*c)

log _{2}(x-1).(2x+2)=4\\
log _{2}(2x^{2} +2x-2x-2)=4\\
log _{2}(2x^{2} -2)=4

Agora usando novamente a definição de logaritmos, temos:

(2x^{2} -2)=2 ^{4}\\
2 x^{2} -2=16\\
2 x^{2} =16+2\\
2 x^{2} =18\\
 x^{2} =18/2\\
 x^{2} =9\\
x=\pm \sqrt{9}\\
x=\pm3

Como -3 não atende a condição de existência, temos que:

\boxed{S=\{3\}}


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =)
obg!me ajudou muito
=)) feliz!!!
eu te amo cara rsrs