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A melhor resposta!
2014-05-19T21:57:20-03:00
Então, pelo que entendi é pra mostrar que o lado esquerdo da igualdade é igual ao lado direito da igualdade.

1- Quando se divide tanto o numerador quanto o denominador de uma fração por um número, por uma expressão, o valor da fração não é alterado; isso é o que existe por trás da simplificação de uma fração, lembra? "Divide em cima e embaixo por 2"...
Enfim, vamos dividir em cima e embaixo por \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x:

\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x+\cos x}{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x-\cos x}=\frac{\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x}{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x}+\frac{\cos x}{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x}}{\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x}{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x}-\frac{\cos x}{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x}}\\ \\ \boxed{\boxed{\frac{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x+\cos x}{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}x-\cos x}=\frac{1+\mathrm{cotg}\hspace{0,2mm}x}{1-\mathrm{cotg}\hspace{0,2mm}x}}}

2- Essa aqui é fatoração em cima de fatoração, além de usar a identidade fundamental da trigonometria (\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x+\cos^2x=1).

\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x+\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x.\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y+\cos^2x.\cos^2y\\ \\ \mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x(1-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y)+\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y+\cos^2x.\cos^2y\\ \\ \mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x.\cos^2y+\cos^2x.\cos^2y+\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y

\cos^2y(\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x+\cos^2x)+\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y\\ \\ \cos^2y+\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y=1\\ \\ \boxed{\boxed{\therefore \mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x+\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y-\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}x.\mathrm{sen}^2\hspace{0,2mm}y+\cos^2x.\cos^2y=1}}
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