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2014-05-21T06:10:06-03:00

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log _{10}x+2log _{x}10=3


Condição de existência: \begin{cases}x>0~~e~~x \neq 1~\to~base~e/ou~logaritmando\end{cases}

Após impor as restrições, devemos aplicar a mudança de base, onde a nossa base será a base 10.

P.M.B (para uma base n):

\boxed{log _{c}b= \frac{log _{n}b }{log _{n}c }}

____________________________

log _{10}x+ 2(\frac{log _{10}10 }{log _{10}x })=3\\\\
log _{10}x+2( \frac{1}{log _{10}x })=3\\\\
log _{10}x+ \frac{2}{log _{10}x }=3

Usando uma variável auxiliar, fazendo log _{10}x=y , teremos:

y+ \frac{2}{y}=3\\\\
(y*y)+2=3*y\\
y ^{2}+2=3y\\
 y^{2}-3y+2=0~\to~equacao~do~2 ^{o}~grau\\\\\
y'=1~~e~~y''=2

Retomando a variável original, log _{10}x=y :

Quando y=1, temos que:

log _{10}x=1\\
x=10 ^{1}\\
x'=10


Quando y=2, temos que:

log _{10}x=2\\
x=10 ^{2}\\
x''=100

Portanto, não há nenhuma impossibilidade dos valores encontrados não satisfazerem a condição de existência, logo:

\boxed{S=\{10,100\}}


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))