U e W são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial V de dimensão 6

Dadas as proposições:

I) dim (U + W) pode ser igual a 8

II) dim (U + W) pode ser igual a 6

III) dim (U + W) pode ser igual a 5

Assinale a alternativa correta:

A) (I), (II) e (III) estão corretas

B) (I), (II) e (III) estão erradas

C) apenas (I) está correta

D) apenas (II) e (III) estão corretas

E) apenas (I) e (III) estão corretas

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Respostas

2013-06-27T16:23:05-03:00

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Olá, ibcf22.

 

Dado um espaço vetorial  V  qualquer, define-se a soma de dois subespaços seus  U  e  W,  denotada por  U + W,  como o conjunto de todos os vetores da forma  u + w,

onde  u\in U  e w\in W, ou seja:

 

U+W=\{u+w, u\in U, w\in W \}

 

Se  \text{dim}(U)=4  e  \text{dim}(W)=4,  então os vetores  u\in U  e  w\in W  possuem ambos 4 coordenadas.

 

Portanto,  u+w\in U+W também possui 4 coordenadas, pois:

 

u+w=(u_1,u_2,u_3,u_4)+(w_1,w_2,w_3,w_4)=\\\\ =(u_1+w_1,u_2+w_2,u_3+w_3,u_4+w_4)

 

\therefore\boxed{\text{dim}(U+W)=4} 

 

 

Resposta: letra B (I, II e III estão erradas)

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