Qual a área máxima obtida de um retangulo inscrito em um círculo de raio 5 cm.

é exercício de otimização de derivada, fiz de tudo e não consegui chegar em uma fução que eu deriva-se e chega-se ao resultado...

Dexter, Felipe, demonstre para mim..

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Faço já já ^^
ok
Felipe Arregão, vai fazer a outra questão dele ^^... O meu nome está primeiro lá ^^ ;)
Arreguei naquela outra, mas nessa daqui ainda não. Tou só fazendo outras coisas, depois venho aqui e destruo, ao melhor estilo Rochelly Santrelly

Respostas

  • Usuário do Brainly
2014-05-22T21:02:58-03:00
Cara, tem que notar que o diâmetro desse circulo é a diagonal do retângulo.
Sendo x a base do retângulo e y a altura desse retângulo, temos que a área será:
S=x.y

Agora, como a diagonal é o diâmetro do circulo que é 10.
Basta aplicar um pitágoras que daí teremos uma restrição.
x²+y²=10²
y²=100-x²
y=V100-x²

S=x.V100-x²

Agora vamos derivar essa parada.
por isso:
f(x)=h(x).g(x)
f'(x)=h(x)'.g(x)+g'(x).h(x)

S'=V100-x² +x/2V-2x
-x/2V-2x=V100-x²
-x=2V-2x.V100-x²
-x=2[2x(100-x²)]
-x=400x-4x³
-4x³+401x=0

Cara acho que deve ser isso.. na verdade eu nem estudo calculo.. só peguei por curiosidade.mas acho que os x(máximos) seriam os valores dessa raíz.

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mandei pra vc la
chegou ai o convite?.. eu estou de camisa verde
chegou nada
Curti a resolução ;D
A melhor resposta!
2014-05-23T20:11:09-03:00
Odeio essas questões de máximo e mínimo... Já falei pro DexteR que sempre as coisas são iguais, dá é raiva D: Mas vamos mostrar que tem que ser o quadrado inscrito.

i) Note que o diâmetro da circunferência é a diagonal do retângulo (um retângulo é um quadrilátero onde todos os ângulos são retos, logo o quadrado é um retângulo tbm), logo, chamando a diagonal de d, teremos que d=10cm. Sejam a e b as dimensões, os lados do retângulo. Teremos, então:

a^2+a^2=d^2\Rightarrow a^2+b^2=10^2\Rightarrow a^2+b^2=100\\ \\ b^2=100-a^2\\ \\ \boxed{b=\sqrt{100-a^2}}

ii) Agora que temos b em função de a podemos escrever a fórmula da área do retângulo, que é o que queremos maximizar, em função de a.

S=a.b\Rightarrow S=a\sqrt{100-a^2}

Temos S, a área do retângulo, em função de a, logo se derivarmos essa função em relação a a e igualarmos a 0 encontramos o valor de a que maximiza S:

(\sqrt{100-a^2})'=-2a.\frac{1}{2\sqrt{100-a^2}}=-\frac{a}{\sqrt{100-a^2}}\\ \\ \\S'=(a\sqrt{100-a^2})'=\sqrt{100-a^2}-a.\frac{a}{\sqrt{100-a^2}}\\ \\ S'=\frac{100-a^2-a^2}{\sqrt{100-a^2}}=0\Leftrightarrow 100-2a^2=0\\ \\ a^2=50=2.25\Rightarrow \boxed{\boxed{a=5\sqrt2\ cm}}

Como encontramos a podemos facilmente encontrar b pela relação que encontramos em i)

b=\sqrt{100-a^2}=\sqrt{100-50}\\ \\ b=\sqrt{50}\\ \\ \boxed{\boxed{b=5\sqrt2 \ cm}}

Logo as medidas do retângulo são 5\sqrt2 e 5\sqrt2 e a área, que é o que foi pedido, vale 50\ cm^2.
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AHHHHHHHHHHHHH e sem contar que o Denominador NUNCA PODE SER ZEROOO
entao desse do denominador eu sei, é mais um ponto crítico né.. mas nem tinha pensando que o denominador não influencia hauihaiuahuaih
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk ^^
hulk só pensa nos músculo e esquece do "célebro" hauahiuaha
Huahuahua