Respostas

2014-05-24T13:00:16-03:00
Meus caros colegas, chamaremos de questão (a), (b) e (c), respectivamente, os seguintes problemas:
a) (-2x + 4)(x² -2x - 3) < 0. Bem, nesse caso, trata-se de desigualdade do produto de funções, cujo modelo é o seguinte: f(x)*g(x)*h(x)*...< 0. No problema dado, temos duas funções. Assim:
f(x)*g(x) < 0 ⇒ (-2x + 4)(x² - 2x - 3) < 0.  O objetivo dessa desigualdade é encontrar os valores de x (x é o domínio) cuja imagem (a imagem é f(x)*g(x) < 0) seja menor que zero. Para isso, primeiramente encontraremos os zeros das funções, que são os valores de x (ou as raízes da função).  Assim, temos:
f(x) = -2x + 4 ⇒ -2x + 4 = 0   ⇒  x = 2
g(x) = x² - 2x - 3   ⇒   x² - 2x - 3 = 0. Como é uma equação do segundo grau, então aplicaremos a  fórmula de Bháskara, que dá x1 = -1 e x2 = 3.
Pois bem. Agora vamos para a segunda etapa. Faremos um esquema, estudando os sinais das funções f(x) e g(x). Para estudarmos os sinais das funções, precisamos saber, primeiramente, se a função é crescente ou decrescente. Quando for crescente  ⇒ a >0; quando for decrescente ⇒ a <  0 (vocês sabem por que, não é mesmo?). 
Finalmente, depois de saber que uma função é crescente ou decrescente, avaliamos os sinais. Assim:
para f(x), temos x = 2:
f (x)   +        +        +     Ι +        +       +      +    2    -  -  -  -  -  -       Ι    -  -  -  -  -  - -  -
g(x)        +    +     +     -1      -      -         -         Ι     -     -     -         - 3 +  +  +  +  +  +  +
f(x)g(x)   +    +     +      Ο      -       -         -       Ο    +    +    +          Ο    -    -      -      -
                                    Ι                                  Ι                              Ι
                                  -1                                  2                            -3
Obs.: O círculo representa "bola aberta" por se tratar da imagem ser menor que zero.
Como f(x)g(x) < 0, observamos então que o resultado do jogo de sinais é:
-1 < x < 2 ou x > 3 ⇒ S = { x ∈ R/ -1 < x < 2 ou x > 3}