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2014-05-24T18:37:08-03:00
f(x)= \sqrt{x^2-1}

podemos reescrever a raiz com expoente fracionario
por exemplo
 \sqrt[n]{x^a} = x^ \frac{a}{n}

aplicando isso temos
f(x)=(x^2-1)^{ \frac{1}{2} }

agora derivando utilizando a regra da cadeia
u= (x^2-1)\\\\u'=(2x)

u' = a derivada de (x²-1)

derivando pela regra da cadeia
f'(x)=(u^ \frac{1}{2})*u'

derivando a potencia
f'(x)= \frac{1}{2} *(u )^{ \frac{1}{2}-1} *u'\\\\f'(x)= \frac{1}{2}*(u)^{ -\frac{1}{2} } *u'

quando tem expoente negativo ele vai pro denominador
exemplo:
a^{-2}= \frac{1}{a^2}

aplicando isso temos
f'(x)= \frac{1}{2} * \frac{1}{u^{ \frac{1}{2} }} *u'\\\\f'(x)= \frac{1*u'}{2* \sqrt{u} }

substituindo os valores de u ..e u'
f'(x)= \frac{2x}{2 \sqrt{x^2-1} } \\\\\boxed{f'(x)= \frac{x}{ \sqrt{x^2-1} } }

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