20. Mário gosta de escrever dois números de cinco algarismos usando todos os algarismos de 0 a 9 e depois subtrair o menor do maior. Por exemplo, ele escreveu os números 78012 e 39654 e calculou sua diferença 78012 − 39654 = 38358 . Qual é a menor diferença que ele pode obter?

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Respostas

2016-07-21T09:13:57-03:00

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=> Temos 2 números de 5 algarismo cada um

...e pretendemos saber qual a MENOR diferença que podemos obter

.

Vamos raciocinar por partes, temos 5 dígitos em cada número:

|_|_|_|_|_| <---- maior número

|_|_|_|_|_| <---- menor número

Vamos "esquecer por agora o algarismo da dezenas de milhar que vamos designar de "X" para o maior número de "Y" para o menor número

Agora vamos colocar em cada um dos restantes 4 dígitos a possibilidade máxima e mínima de "agrupar" os algarismos, donde resulta:

|X|9|9|9|9| <---- maior número

|Y|0|0|0|0| <---- menor número

Mas, assim a diferença entre os dois números ia ser MÁXIMA ...e o que se pretende é que a diferença seja mínima.

Assim NÃO PODEMOS utilizar números repetidos ...o que implica que vamos ter de colocar algarismos consecutivos de forma decrescente no maior número ...e de forma crescente no menor número (para os aproximar), vamos ver como:

|X|9|8|7|6| <---- maior número

|Y|0|1|2|3| <---- menor número

Agora resta saber o que fazer com o digito da dezenas de milhar ..e com os 2 algarismos que faltam (o 4 e o 5)

É obvio que se colocarmos o "5" em substituição do "X" vamos obter o número 59876 ...seguindo mesmo raciocínio para o "4" e para "Y" vamos obter 40123.

Mas também é óbvio que a diferença entre os números resultantes não é a MENOR possível pedida pelo exercício

Então só resta uma possibilidade:

--> Atribuir a "X" o algarismo "4" ...e o que designamos por maior número ..passa a ser o menor número

--> Atribuir ao "Y" o algarismo "5" ...e o que designamos por menor número passa a ser o maior número

Donde resulta:

|4|9|8|7|6| <--- menor número

|5|0|1|2|3| <--- maior numero


Calculando a sua diferença: 50123 - 49876 = 247 <--- resposta pedida


Espero ter ajudado

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