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2014-05-25T18:03:33-03:00

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\begin{cases}3x+y+z=5\\
-x-y+3z=3\\
x+5y-2z=-10\end{cases}

Olá Daybispo,

tendo o sistema linear, vamos seguir 4 passos para resolvê-lo:

1° passo, encontrar o determinante principal, para tanto, devemos usar os coeficientes das variáveis antes do sinal de igualdade:

  \Delta=\left|\begin{array}{ccc}3&1&1\\-1&-1&3\\1&5&-2\end{array}\right|  \left\begin{array}{ccc}3&1\\-1&-1\\1&5\end{array}\right\\\\\\
\Delta=6+3-5+1-45-2~\to~\Delta=-42

__________

2° passo, encontrar o determinante de x, para tanto, devemos usar os termos independentes (coeficientes numéricos) no lugar das variáveis x:

  \left|\begin{array}{ccc}5&1&1\\3&-1&3\\-10&5&-2\end{array}\right|  \left\begin{array}{ccc}5&1\\3&-1\\-10&5\end{array}\right\\\\\\
\Delta_x=10-30+15-10-45+6~\to~\Delta_x=-54

__________

3° passo, encontrar o determinante de y, para tanto, devemos usar os termos independentes (coeficientes numéricos) no lugar das variáveis y:

\Delta _y=  \left|\begin{array}{ccc}3&5&1\\-1&3&3\\1&-10&-2\end{array}\right|  \left\begin{array}{ccc}3&5\\-1&3\\1&-10\end{array}\right\\\\\\
\Delta_y=-18+15+10-3+90-10~\to~\Delta_y=84

__________

4° passo, encontrar o determinante de z, para tanto, devemos usar os termos independentes (coeficientes numéricos) no lugar das variáveis z:

\Delta_z=  \left|\begin{array}{ccc}3&1&5\\-1&-1&3\\1&5&-10\end{array}\right|  \left\begin{array}{ccc}3&1\\-1&-1\\1&5\end{array}\right\\\\\\
\Delta_z=30+3-25+5-45-10~\to~\Delta_z=-42

__________________________

Achados os determinantes, podemos dividir todos eles, respectivamente, pelo determinante principal e acharmos x,y e z:

x= \frac{\Delta_x}{\Delta}~\to~x= \frac{-54}{-42}~\to~x=\frac{9}{7} \\\\
y= \frac{\Delta_y}{\Delta}~\to~y= \frac{84}{-42}~\to~y=-2\\\\
z= \frac{\Delta_z}{\Delta}~\to~z= \frac{-42}{-42}~\to~z=1

Portanto, a solução do sistema linear acima, será:

\boxed{S _{x,y,z} =\{(\frac{9}{7},-2, 1)\}}



Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))