Durante o estudo da matemática é muito comum ouvir a seguinte frase: “Os números complexos foram inventados para resolvermos as equações do segundo grau”. Com base na teoria dos números complexos, além de sua origem, pode-se afirmar que essa afirmação é verdadeira?

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Respostas

2014-05-28T14:02:18-03:00
Cardano 1545 ao tentar resolver a cúbica x 3 = 4 + 15x , a qual ele sabia ter raiz verdadeira x = 4, constatou que a regra de dal Ferro-Tartaglia produzia a seguinte expressão ( em notação moderna ) : 


Deparando-se com o termo  - 121 , ele não conseguiu ver como "destravar" o calculo, de modo a fazer a regra chegar ao esperado x = 4. 

Foram precisos mais de 25 anos para Bombelli, em 1572, atinar como resolver o impasse . Esse disse ter tido a "idéia louca" de operar com as quantidades da forma a + b  -1 sob as mesmas regras que se usa com os números reais, mais a propriedade

(  -1 )2 = -1
para assim conseguir "destravar" a regra, fazendo-a produzir o desejado x = 4. 

O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado, chegando mesmo a dizer que eram uma nova espécie de raízes quadradas ... que tem regras diversas das outras. Para os demais matemáticos da época, os números complexos eram vistos com suspeita e quanto muito tolerados, na falta de melhor coisa. Até o nome que receberam, números SOFÍSTICOS, espelhava bem a situação. 

É de se acrescentar que alguns matemáticos da época procuraram descobrir maneiras de se evitar o uso dos complexos. Entre eles, o que mais procurou evitar astorturas mentais envolvidas com o uso de raízes quadradas de negativos foi Cardano. Em seu difícil livro De Regula Aliza, de 1 570, Cardano procurou inventar artifícios de cálculo que evitassem o uso de raízes quadradas de negativos quando da aplicação das regras de resolução de cúbicas. Conseguiu apenas magros resultados. Foram necessários trezentos anos para que, em 1 890, Capelli conseguisse provar que isso é em geral impossível de conseguir.
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O primeiro estudo dos complexos: Bombelli 1 572

Rafael Bombelli gastou 74 páginas de sua L'Algebra para estudar as leis algébricas que regiam o cálculo com as quantidades a + b -1 . Em particular, mostrou que

as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem numeros desse tipo
a soma de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só nome.
Investigação do fechamento dos complexos

Embora Bombelli já tivesse se preocupado em provar o fechamento das operações aritméticas com números complexos, em 1 680, encontramos ninguêm menos do que Leibniz questionando-se se seria real ou não o resultado de

( a + ib ) + ( a - ib )

Lambert, em 1 750, mostrou que i , i i ,etc todos tem a forma a + ib.
Os números complexos não NÃO NÃO foram inventados para resolvermos as equações do segundo grau