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2014-05-29T09:09:23-03:00

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log _{ \frac{1}{3}}( x^{2} -4x+4)=2

E aí Andy,

pela condição de existência, temos que:

\begin{cases} x^{2} -4x+4>0\\
(x-2)(x-2)>0\\
x>2\end{cases}

Usando a definição de logaritmos, temos:

 x^{2} -4x+4= (\frac{1}{3})^{2}\\\\
 x^{2} -4x+4= \frac{1}{9}\\\\
 \frac{9 x^{2} }{\not9}- \frac{36x}{\not9}+ \frac{36}{\not9}= \frac{1}{\not9}\\\\
9 x^{2} -36x+36=1\\
9 x^{2} -36x+35=0

\Delta=b^{2}-4ac\\
\Delta=(-36)^{2}-4*9*35\\
\Delta=1.296-1.260\\
\Delta=36

\boxed{x= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}}\\\\\\
x= \frac{-(-36)\pm \sqrt{36} }{2*9}\to~x= \frac{36\pm6}{18}\to~\begin{cases}x'= \frac{36-6}{18}\to~x'= \frac{5}{3}\\\\
x''= \frac{36+6}{18}\to~x''= \frac{7}{3}\end{cases}

Como na restrição acima temos que x deve ser > 2, x=5/3 não seve, logo a solução da equação logarítmica é:

\boxed{S=\{ \frac{7}{3}\}}


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))