Respostas

2014-05-29T20:13:49-03:00
Questão que usa as relações de Girard pra ser resolvida. Vamos lá?

i) Inicialmente lembremo-nos desse produto notável aqui:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Disso a gente pode encontrar facilmente que

\boxed{a^2+b^2=(a+b)^2-2ab}

Agora vamos calcular a soma e o produto das raízes da equação dada, pra substituir os valores acima e encontrar o valor de a. Chamando as raízes da equação de x_1 e x_2 teremos:

x_1+x_2=-\frac{-(2a+1)}{1}\Rightarrow x_1+x_2=2a+1\\ \\ x_1x_2=\frac{4a}{1}\Rightarrow x_1x_2=4a\\ \\ \mathrm{Fazendo} \ a=x_1 \ \mathrm{e}\ b=x_2\ \mathrm{na \ rela\c{c}\~ao \ em \ i) \ teremos}\\ \\ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\ \\ 1=(2a+1)^2-2.4a\\ \\ 4a^2+4a+1-8a=1\\ \\ 4a^2-4a=0

Resolvendo a equação incompleta acima encontramos que os valores procurados de a que satisfazem a condição pedida são

\boxed{\boxed{a=0}} e \boxed{\boxed{a=1}}