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2014-05-30T23:58:26-03:00

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Soma dos cubos de 2 termos: a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})

Quadrado da soma de 2 termos: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Soma de frações (de outra forma):

\boxed{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}}
________________________

\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{n^{3}+m^{3}}{m^{3}n^{3}}\\\\\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{(m+n)(n^{2}-mn+m^{2})}{(mn)^{3}}\\\\\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{(m+n)(m^{2}+n^{2}-mn)}{(mn)^{3}}
___

(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}\\m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn
___

Substituindo n² + m² por (m + n)² - 2mn:

\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{(m+n)(m^{2}+n^{2}-mn)}{(mn)^{3}}\\\\\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{(m+n)([m+n]^{2}-2mn-mn)}{(mn)^{3}}\\\\\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{(m+n)([m+n]^{2}-3mn)}{(mn)^{3}}\\\\\boxed{\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{S(S^{2}-3P)}{P^{3}}}

Onde S é a soma das raízes, e P o produto

Calculando S e P:

x^{2}-10x+1=0\\\\S=-b/a=-(-10)/1=10\\P=c/a=1/1=1

\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{S(S^{2}-3P)}{P^{3}}\\\\\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=\frac{10(10^{2}-3.1)}{1^{3}}\\\\\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=10(100 - 3)\\\\\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=10(97)\\\\\boxed{\boxed{\frac{1}{m^{3}}+\frac{1}{n^{3}}=970}}
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