Felipinho e demais,

Vamos jogar um jogo ;).

Identifique as conicas em \mathbb{R}^2.

1-

xy+x+y=0

2-

4xy+3y^2+2\sqrt{5}x+4\sqrt{5}y=0


PS: Ti virem, eu não sei quais são as figuras, só vou tentar fazer se alguém responder ;P...

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Possível, você quer dizer :P
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Respostas

A melhor resposta!
2014-06-06T12:42:54-03:00
Depois de quatro páginas de cálculos (com letras, gosto de sofrer matematicamente) encontrei algo relativamente interessante. Seja a equação

Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0, com C\neq0.

Fazendo x=x'\cos\theta-y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta e y=x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta, onde x' e y' são as novas coordenadas do plano após rotacioná-lo de \theta en torno da origem, temos que

\boxed{\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\sqrt{\frac12\left(1-\frac{A-B}{\sqrt{(A-B)^2+C^2}}\right)}}

e

\boxed{\cos\theta=\sqrt{\frac12\left(1+\frac{A-B}{\sqrt{(A-B)^2+C^2}}\right)}}

para que o termo em x'y', após a rotação, seja 0.

1- Temos que A=B=F=0 e que C=D=E=1, daí:

\cos\theta=\sqrt{\frac12\left(1+\frac{0-0}{\sqrt{(0-0)^2+1^2}}\right)}\\ \\ \cos\theta=\sqrt{\frac12}\Rightarrow \boxed{\cos\theta=\frac{\sqrt2}{2}}

Daí \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\frac{\sqrt2}{2},

xy=(x'\cos\theta-y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta)(x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta)\\ \\ xy=\frac12(x'-y')(x'+y')\\ \\ xy=\frac12((x')^2-(y')^2)

e a equação após a rotação fica:

\frac12((x')^2-(y')^2)+\frac{\sqrt2}{2}(x'-y')+\frac{\sqrt2}{2}(x'+y')=0\\ \\ (x')^2-(y')^2+2\sqrt2.x'=0\\ \\ (x')^2+2\sqrt2.x'+2-(y')^2=2\\ \\ \boxed{\frac{(x'+\sqrt2)^2}{2}-\frac{(y')^2}{2}=1}

O que é uma hipérbole.
_________________________________________________

2- Nessa temos A=F=0, B=3, C=4, D=2\sqrt5 e E=4\sqrt5, daí:

\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\sqrt{\frac12\left(1-\frac{0-3}{\sqrt{(0-3)^2+4^2}}\right)}\\ \\ \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\sqrt{\frac12\left(1+\frac{3}{\sqrt{9+16}}\right)}\\ \\ \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\sqrt{\frac12\left(1+\frac35\right)}\\ \\ \mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta=\frac{2}{\sqrt5}

e \cos\theta=\frac{1}{\sqrt5}. Substituindo tudo o que temos encontramos:

y^2=(x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta)^2\\ \\ y^2=(x')^2.\frac45+2.\frac25.x'y'+(y')^2.\frac15\\ \\ y^2=(x')^2.\frac45+x'y'.\frac45+(y')^2.\frac15

xy=(x'\cos\theta-y'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta)(x'\mathrm{sen}\hspace{0,2mm}\theta+y'\cos\theta)\\ \\ xy=(x')^2.\frac25+x'y'\left(\frac15-\frac45\right)-(y')^2.\frac25\\ \\ xy=(x')^2.\frac25-x'y'.\frac35-(y')^2.\frac25

12(x')^2.\frac15+3(y')^2.\frac15+8(x')^2.\frac15-8(y')^2.\frac15+2\sqrt5(x+2y)=0\\ \\ 4(x')^2-(y')^2+2(x'-2y'+2(2x'+y'))=0\\ \\ 4(x')^2-(y')^2+10x'=0\\ \\ (2x')^2+2.2x'.\frac52+\frac{25}{4}-(y')^2=\frac{25}{4}\\ \\ \left(2x'+\frac52\right)^2-(y')^2=\frac{25}{4}\\ \\ 4\left(x'+\frac54\right)^2-(y')^2=\frac{25}{4}

\boxed{\frac{\left(x'+\frac54\right)^2}{25/16}-\frac{(y')^2}{25/4}=1}

Olha, temos outra hipérbole também :D
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Pulei algumas minúcias, nada de mais :P