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2014-06-08T18:30:26-03:00
I) Seja a soma \Delta_n=1+2+3+4+\ldots+n. É fácil ver que essa é a soma dos termos de uma PA e que

\Delta_n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+n}{2}

A partir da fórmula acima encontramos que

\Delta_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}

Usando as duas fórmulas acima encontramos que:

\left\{\begin{array}{l}n=\Delta_n-\Delta_{n-1}\\ n^2=\Delta_n+\Delta_{n-1}\end{array}\right.

Por fim, multiplicando-as membro a membro encontramos que:

\boxed{n^3=\Delta_n^2-\Delta_{n-1}^2}

ii) Atribuindo valores para n encontramos o seguinte:

\begin{array}{l}1^3=\Delta_1^2-\Delta_0^2\\ 2^3=\Delta_2^2-\Delta_1^2\\ 3^3=\Delta_3^2-\Delta_2^2\\ \vdots\\ 100^3=\Delta_{100}^2-\Delta_{99}^2\end{array}

Somando todas as igualdades acima membro a membro encontramos que:

1^3+2^3+3^3+4^3+\ldots+100^3=\Delta_{100}^2-\Delta_0^2\\ \\ 1^3+2^3+3^3+4^3+\ldots+100^3=\left(\frac{100(100+1)}{2}\right)^2\\ \\ 1^3+2^3+3^3+\ldots+100^3=(50.101)^2\\ \\ 1^3+2^3+3^3+\ldots+100^3=2500.10201\\ \\ \boxed{\boxed{Y=25502500}}


De um modo geral, 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\Delta_n^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2, onde o \Delta_n é a soma dos termos de uma PA, meio que de acordo com o que foi pedido na questão.
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