Respostas

2014-06-09T00:19:15-03:00
I) Seja P[tex] o ponto de interseção das três retas. Como as três passam pelo mesmo ponto temos que, em particular, duas delas se cruzam em [tex]P, cujas coordenadas são P=(x_P,y_P). No ponto de interseção teremos:

\left\{\begin{array}{l}2x_P+3y_P=0\\x_P-2y_P=-5\end{array}\right.

Resolvendo esse sistema pelo método da adição, multiplicando a segunda equação por -2, teremos:

\left\{\begin{array}{l}2x_P+3y_P=0\\x_P-2y_P=-5\end{array}\right. \Longrightarrow \ \left\{\begin{array}{l}2x_P+3y_P=0\\-2x_P+4y_P=10\end{array}\right.\\ \\ 7y_P=10\\ \\ \boxed{y_P=\frac{10}{7}}

Substituindo na primeira equação para encontrar o valor de x_P:

2x_P=-3y_P\\ \\ x_P=-\frac32.\frac{10}{7}\\ \\ \boxed{x_P=-\frac{15}{7}}

ii) Agora que temos as coordenadas do ponto onde as três retas se cruzam podemos usá-las na equação da terceira reta; se encontrarmos uma igualdade então a reta passará pelo ponto, caso contrário, ela não passará por ele:

(2k+1)x_P+(3k-2)y_P+5=0\\ \\ (2k+1).\left(-\frac{15}{7}\right)+(3k-2).\frac{10}{7}+5=0\\ \\ -\frac{30k}{7}-\frac{15}{7}+\frac{30k}{7}-\frac{20}{7}+5=0\\ \\ 5-\frac{35}{7}=0\\ \\ \boxed{\boxed{5-5=0}}

Como encontramos uma verdade, uma igualdade, independente do valor de k, temos que a terceira reta passa sim por P, logo as três retas passam pelo mesmo ponto.