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2014-06-11T23:52:28-03:00

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Olá Maria, havia falado que trata-se de um cone e não de um cilindro, pois bem, dada a área lateral e a área total, podemos montar um sistema:

\begin{cases}A_l= \pi rg\\
A_t= \pi (r^2+rg)\end{cases}\to\begin{cases} \not\pi rg=30\not\pi \\
 \not\pi (r^2+rg)=48\not\pi \end{cases}\to\begin{cases}rg=30~~(I)\\
r^2+rg=48~~(II)\end{cases}

Feito isso, rg=30 na equação I, então podemos substituí-lo na equação II:

r^2+30=48\\
r^2=48-30\\
r^2=18\\
r= \sqrt{18}\\
r=3 \sqrt{2}~m

Achado o raio da base, vamos encontrar a medida da geratriz:

rg=30\\
3 \sqrt{2}*g=30\\\\
g= \dfrac{30}{3 \sqrt{2} }\\\\\\
g= \dfrac{30*3 \sqrt{2} }{(3 \sqrt{2})*(3 \sqrt{2})}~\to~g= \dfrac{90 \sqrt{2} }{18}~\to~g=5 \sqrt{2}~m

Usando o teorema de Pitágoras, vamos achar a altura, já que possuímos o raio da base (um dos catetos) e a geratriz (hipotenusa):

g^2=r^2+h^2\\
(5 \sqrt{2})^2=(3 \sqrt{2})^2+h^2\\
h^2+9*2=25*2\\
h^2+18=50\\h^2=50-18\\
h^2=32\\
h= \sqrt{32}\\
h=4 \sqrt{2}~m

Agora podemos encontrar o volume deste cone:

V= \dfrac{ \pi~r^2h}{3}\\\\\\
V= \dfrac{ \pi(3 \sqrt{2})^2*4 \sqrt{2}  }{3}\\\\
V= \dfrac{18*4 \sqrt{2} \pi  }{3}\\\\
V= \dfrac{72 \sqrt{2} \pi  }{3}\\\\
\boxed{V=24 \sqrt{2}\pi~cm^3}

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))
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