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A melhor resposta!
2014-06-24T18:18:19-03:00
Olá!

Começando na questão da PUC:
A questão nos informa que o número da colônia de bactérias (n) cresce em função do tempo através da função n(t) = 100 * 2^t/3
Quando n for 51200, t será dado por:

51200 = 100 *  2^{ \frac{t}{3}}  \\  \\  \frac{51200}{100} =  2^{ \frac{t}{3} }  \\  \\ 512 = 2^{ \frac{t}{3} }

Nesse ponto, perceba que podemos escrever 512 na base 2 para igualar os expoentes e tornar a igualdade 2^x = 2^y real. Fatorando 512, obtemos 2^9, então:

 2^{9} = 2^{ \frac{t}{3} } \\  \\ 9 =  \frac{t}{3}  \\  \\ t = 9*3  \\  \\ t = 27 h

Ou seja, a colonia de bactérias terá essa população em 27 horas (Ou 1 dia + 3 horas).

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Agora a questão da Mackenzie:
Apenas olhando o gráfico já vemos que a função f(t) = a*b^t tem pontos definidos em (0; 10^4) e (3; 8*10^4).

Como t é a abscissa da função, podemos substituir os pontos de abscissas acima reconhecido na função f(t):
Para (0; 10^4)
f(t) = a*b^0
f(t) = a
10^4 = a
a = 10^4

Para (3; 8*10^4)
f(t) = a*b^3
f(t) = a*b^3
8*10^4 = a*b^3
Como a = 10^4, da relação acima temos:
8 = b^3
b = ∛8
b = 2

Conhecendo os valores de a e b, encontramos a função f(t):
f(t) = 10^4*2^t

A questão nos pede o número de bactérias no instante 30 minutos, ou 1/2 hora. Agora conhecendo a função f(t) basta substituir a variável t:
f(1/2) = 10^4 * 2^(1/2)
f(1/2) = 10.000 * √2
f(1/2) ≈ 14.100

Dessa forma, o número de bactérias mais próximos desse valor é a alternativa d) 14.000.

Bons estudos!

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