Sabe-se que: o numero natural K dividido pelo numero natural A dá quociente 56 e resto zero; K dividido pelo numero natural B dá quociente 21 e reto zero; e os algarismos de A são os mesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dos algarismos de K é igual a:
a)5
b)6
c)7
d)8
e)9

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Respostas

2014-06-28T19:10:31-03:00
Precisa-se saber divisibilidade e como representar um número de dois algarismos para resolver essa questão.

i) Foi dito na questão que ao dividir K por A e B encontramos resto 0, isso quer dizer que:

\begin{cases}K=q_1.A\\ K=q_2.B\end{cases}

onde esses q_1 e q_2 são os quocientes da divisão de K por A e B, respectivamente. Perceba que são dados os quocientes na questão, então podemos reescrever as igualdades acima como:

\begin{cases}K=56A\\ K=21B\end{cases}

Como o K é o mesmo em ambas as igualdades podemos dizer que:

56A=21B\ {:7 \atop \Longrightarrow} \ \boxed{8A=3B}

ii) Como tanto A e B são números de dois algarismos podemos representá-los como

\begin{cases}A=10x+y\\ B=10y+x\end{cases}

já que os algarismos de B são os mesmos de A, mas ao contrário. Substituindo isso na relação que encontramos anteriormente teremos:

8A=3B\Rightarrow 8(10x+y)=3(10y+x)\\ 80x+8y=30y+3x\\ 77x=22y\\ \\ \boxed{7x=2y}

iii) Como tanto x e y são algarismos temos que eles só podem assumir valores inteiros entre 0 e 9. Vamos, então, atribuir valores a x para encontrarmos y

a) x=1
2y=7.1\Rightarrow 2y=7\Rightarrow y=3,5 \ (N\~AO \ PODE)

b) x=2
2y=7.2\Rightarrow y=7\ (OK)

c) x=3
2y=7.3\Rightarrow 2y=21\Rightarrow y=10,5\ (MAIOR\ QUE \ 9)

Para x>3 encontramos y>9, o que não pode acontecer, portanto o único caso possível é que x=2 e y=7, daí

\begin{cases}A=27\\ B=72\end{cases}

iv) Agora, pra terminar, vamos encontrar o valor de K e somar seus algarismos. Já temos os valores de A e B, agora é só substituir um deles naquelas igualdades do começo para encontrar K.

K=56A\Rightarrow K=56.27\Rightarrow \boxed{K=1512}

Como se deseja saber a soma dos algarismos de K temos que a resposta é

1+5+1+2=9

R: e) 9
2 5 2