70 PONTOS!
Um triângulo ABC possui ângulos internos de Â=64°, B=36° e ^C=80°.
Considere a circunferência inscrita neste triângulo, de centro I e que toca os lados do triângulo nos pontos P, Q e R.

(a)Olhando para o quadrilátero AQIR, calcule a medida do ângulo QÎR deste quadrilátero.

(b)Calcule a medida do ângulo Q^PR do triângulo PQR.

(c)Calcule a medida dos outros dois ângulos internos do triângulo PQR.

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Respostas

2013-07-23T16:18:53-03:00
A)Observe que o centro da circunferência inscrita de um triângulo é o incentro que é o encontro das bissetrizes de um triângulo logo:

A\hat{C}I=I\hat{C}P=80/2=40^{\circ}\\
R\hat{A}I=Q\hat{A}I=64/2=32^{\circ}\\
P\hat{B}I=I\hat{B}R=36/2=18^{\circ}


Além disso,como o círculo é tangente aos lados do triângulo ABC os ângulos marcados em verde são retos.
Antes de continuar,usaremos um fato da geometria:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°

QIR=QIA+AIR\\
=[180-(90+32)]+[180-(90+32)]=
\\=58+58=116^{\circ}

b)Usaremos outro fato da geometria:
Um ângulo inscrito tem medida igual a metade do ângulo central de mesmo arco.

QPR=QIR/2=116/2=58^{\circ}

c)Usando o mesmo raciocínio do item b),podemos calcular os outros dois ângulos.
PIR=PIB+BIR=\\
=[180-(90+18)]+[180-(90+18)]=\\
=72+72=144^{\circ}\\
\\
P\hat{Q}R=P\hat{I}R/2=144/2=72^{\circ}

Q\hat{I}P=C\hat{I}Q+C\hat{I}P=\\
\\=[180-(90+40)]+[180-(90+40)]=\\
=50+50=100^{\circ}\\
\\
P\hat{R}Q=Q\hat{I}P/2=100/2=50^{\circ}
20 4 20
o arco não mede 116°
PIC OBMEP
Como assim não mede 116°
Ele deveria medir o dobro de 64
Eu me enganei então com a propiedade