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2014-07-07T21:14:26-03:00

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Você quis dizer \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}} ?

Se sim:

\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}=x

Elevando os 2 lados da equação ao quadrado:

(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}})^{2}=x^{2}\\\\6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}=x^{2}

Mas como \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}} é x:

6+x=x^{2}\\0=x^{2}-x-6\\x^{2}-x-6=0

Soma das raízes:

S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-1)}{1}=1

Produto das raízes:

P=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-6}{1}=-6

Raízes: 2 números que quando somados dão 1 e quando multiplicados dão 6

x'=-2\\x''=3

O exercício pediu a raiz de \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}, devemos respeitar o sinal positivo da raiz, levando em conta que o resultado também será positivo (raiz aritmética)

Descartamos -2, ficando com:

\boxed{\boxed{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}=3}}