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2014-07-13T03:11:08-03:00
X^(n+1)+1/(x^(n+1))> x^(n)+1/x^(n)
(x^(2n+2)+1)/x^(n+1) > (x^(2n)+1)/x^(n)
(x^(n)*(x^(2n+2)+1))/x^(n+1) > x^(2n)+1
(x^(2n+2)+1)/x > x^(2n)+1
x^(2n+2)+1 > x^(2n+1)+x
x^(2n+2)-x^(2n+1)+x+1>0
Sendo n um inteiro positivo qualquer temos:
x^(2n+2) será sempre par independente do valor de n
(x+1) é sempre maior que 0, visto que pelo enunciado x>0
Devemos provar que -(x^(2n+1)) é >0 ou pelo menos -(x^(2n+1)) < x^(2n+2)+x+1, pois assim a equação dará >0
Sendo assim:
x^(2n+2)+x+1 > -(x^(2n+1))
x^2(2n+2)+x+1+x^(2n+1)>0
C.Q.D (Todos os passos são de ida e volta ( <->) logo a equação está demonstrada)
Outra forma de notar o último passo sem ter que fazer muita conta só olhando para o expoente:
Também podemos notar que -x^(2n+1), para n par temos um expoente impar e para n impar temos um expoente par, porém independente do n atribuído é fácil ver que x^(2n+2)>x^(2n+1) Então x^2(2n+2)-x^(2n+1) > 0. Logo a equação inteira como visto anteriormente será >0