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2014-07-13T02:59:12-03:00

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11)

Soma das raízes de uma equação quadrática: S = -b/a
Produto das raízes de uma equação quadrática: P = c/a

x^{2}-kx+\dfrac{k^{2}-5}{4}=0

a=1\\b=-k\\c=(k^{2}-5)/4

Como a soma das raízes é igual ao produto:

S=P\\-b/a=c/a\\-b=a\\-(-k)=(k^{2}-5)/4\\k=(k^{2}-5)/4\\4k=k^{2}-5\\0=k^{2}-5-4k\\k^{2}-4k-5=0

Calculando as raízes dessa equação por soma e produto:

S=-b/a\\S=-(-4)/1\\S=4\\\\P=c/a\\P=-5/1\\P=-5

Raízes: 2 números que quando somados dão 4 e quando multiplicados dão -5

k'=-1\\k''=5

\boxed{\boxed{S=\{-1,~5\}}}

12)

\dfrac{x-\frac{1}{2}}{x+2}=\dfrac{1}{x-4}\\\\\\\dfrac{\frac{2x}{2}-\frac{1}{2}}{x+2}=\dfrac{1}{x-4}\\\\\\\dfrac{\frac{2x-1}{2}}{x+2}=\dfrac{1}{x-4}\\\\\\\dfrac{2x-1}{2(x+2)}=\dfrac{1}{x-4}\\\\\\\dfrac{2x-1}{2x+4}=\dfrac{1}{x-4}

Multiplicando em cruz:

(2x-1)*(x-4)=2x+4\\2x^{2}-8x-x+4=2x+4\\2x^{2}-9x+4=2x+4\\2x^{2}-9x=2x\\2x^{2}-9x-2x=0\\2x^{2}-11x=0

Colocando x em evidência:

x(2x-11)=0

Igualando ambos a zero:

x=0\\\\2x-11=0\\2x=11\\x=11/2

\boxed{\boxed{S=\{0,~\dfrac{11}{2}\}}}

13)

Números: x e y

x*y=z

O produto aumenta de 71 se trocarmos os fatores iniciais pelos consecutivos

Consecutivos de x e y: (x + 1) e (y + 1)

(x+1)*(y+1)=z+71

A diferença entre os números é 34:

x-y=34

Sistema:

\begin{cases}xy=z\\(x+1)(y+1)=z+71\\x-y=34\end{cases}

Manipulando a segunda equação:

(x+1)(y+1)=z+71\\(x+1)(y+1)=xy+71\\xy+x+y+1=xy+71\\x+y+1=71\\x+y=71-1\\x+y=70

\begin{cases}x+y=70\\x-y=34\end{cases}

Somando as equações:

x+x+y-y=70+34\\2x=104\\x=104/2\\x=52

x+y=70\\52+y=70\\y=70-52\\y=18

Números: 52 e 18

14)

(x^{2}-2)^{2}=x^{2}+180\\(x^{2})^{2}-2*x^{2}*2+2^{2}=x^{2}+180\\(x^{2})^{2}-4x^{2}+4=x^{2}+180\\(x^{2})^{2}-4x^{2}+4-x^{2}-180=0\\(x^{2})^{2}-5x^{2}-176=0

\Delta=b^{2}-4ac\\\Delta=(-5)^{2}-4*1*(-176)\\\Delta=25+704\\\Delta=729

x^{2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}~~~\therefore~~~\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{729}}{2*1}~~~\therefore~~~\dfrac{5\pm27}{2}

Calculando as raízes:

(x')^{2}=(5+27)/2\\(x')^{2}=32/2\\(x')^{2}=16\\x'=\pm\sqrt{16}\\x'=\pm4

(x'')^{2}=(5-27)/2\\(x'')^{2}=-22/2\\(x'')^{2}=-11\\x''=\pm\sqrt{-11}

Raiz quadrada de número negativo não pertence ao conjunto dos reais, vejo que o livro não aceitou as raízes complexas (i√11 e -i√11), logo vamos descartá-las

\boxed{\boxed{S=\{-4,4\}}}
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  • Usuário do Brainly
2014-07-13T03:02:40-03:00

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11)
 x^{2} -kx+ \frac{ k^{2}-5 }{4}

P=S
 \frac{c}{a}= \frac{-b}{a}

 \frac{ k^{2}-5 }{4} =k

 k^{2} -5=4k

 k^{2} -4 k^{} -5=0

Δ=16+20
Δ=36
√Δ=6

k'= \frac{4+6}{2} = \frac{10}{2} =5

k"= \frac{4-6}{2} = \frac{-2}{2} =-1

R= Os valores são 5 ou -1

12)

 \frac{x- \frac{1}{2} }{x+2} = \frac{1}{x-4}

 \frac{2x-1}{2} : x^{} +2= \frac{1}{x-4}

 \frac{2x-1}{2} . \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x-4}

 \frac{2x-1}{2(x+2)} = \frac{1}{x-4}

(2 x^{} -1)(x-4)=2(x+2)

2 x^{2} -8x-x+4=2x+4

2 x^{2} -8x-x-2x+4-4=0

2 x^{2} -11x=0

 x^{} (2x-11)=0

 x^{'} =0

2 x^{"} -11=0

  x^{"} = \frac{11}{2}

R= 0 e \frac{11}{2}

13)
1°)xy+71=(x+1)(y+1)
   xy+71=xy+x+y+1
xy-xy-x-y=1-71
     -x-y=-70
     x+y=70

 \left \{ {{x+y=70} \atop {x-y=34}} \right.

adição
2 x^{} =104

 x^{} = \frac{104}{2}

x=52

como  x+y=70
           52+y=70
               y=70-52

               y=18

R= Os n° são 18 e 52

14)
( x^{2} -2) ^{2} = x^{2} +180

 x^{4} -4 x^{2} +4- x^{2} -180=0

 x^{4} -5 x^{2} -176=0

 x^{2} =y

 y^{2} -5y-176=0

Δ=25+704
Δ=729
√Δ=27

y'=  \frac{5+27}{2} = \frac{32}{2} =16

y"=  \frac{5-27}{2} = \frac{-22}{2} =-11

como   x^{2} =y

 x^{2} =16

 x^{} = \sqrt{16}

 x^{'} =4

 x^{"} =-4

 x^{2} =-11

 x^{} = \sqrt{-11}  ∉ R

S={-4,4}





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