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2013-07-28T17:06:57-03:00

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Oi, Jr.

\text{(i) }p(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0, a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}
\\\\
p(x^2) = a(x^2)^2 + a_1x^2 + a_0 = a_2x^4 + a_1x^2 + a_0
\\\\
p(x^2)=0 \Leftrightarrow  a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0

Ou seja: 

Nuc(T)=\{p(x)\in P_2(\mathbb{R})\ |\ p(x)\equiv 0\} \Rightarrow \\\\ Nuc(T)=\{0\} \Rightarrow\boxed{dim(Nuc(T))=0}

Observação: Subespaços vetoriais nulos possuem dimensão zero e é o único caso possível de subespaço vetorial com dimensão zero.


\text{(ii) }Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}

Um base para Im(T) é  \boxed{\{x^4,x^2,1\}},  pois, conforme verificado em (i),
  
a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0 \Rightarrow  o conjunto de monômios

\{x^4,x^2,1\}  é L.I. Além disso, o conjunto  \{x^4,x^2,1\}  gera Im(T), pois

Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}.
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Sim, de "kernel" (núcleo, em inglês). Muitos livros e artigos usam ker(T).
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