Um fabricante estima que a receita marginal é R'(q)= 100q^-1/2 reais quando o nível de produção é q unidades. O custo marginal correspondente é 0,4q reais por unidade. O lucro do fabricante é de 520,00 quando o nível de produção é de 16 unidades. Qual é o lucro do fabricante quando o nível de produção é de 23 unidades?

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2014-07-15T17:37:14-03:00

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Olá, Juliana.

A receita marginal é dada por: R'(q)=100q^{-\frac12}
O custo marginal é dado por: C'(q)=0,4q

O lucro marginal é dado por:

L'(q)=R'(q)-C'(q)=100q^{-\frac12}-0,4q

O lucro é obtido pela integração da função de lucro marginal, ou seja:

L(q)=\int L'(q)\,dq=\int100q^{-\frac12}-0,4q\,dq=\\\\
=100\cdot2q^{\frac12}-0,4\frac{q^2}{2}+C=

=200\sqrt{q}-0,2q^2+C

Como L(16) = 520, temos que:

200\sqrt{16}-0,2\cdot256+C=520\Rightarrow\\\\
800-51,2+C=520\Rightarrow\\\\
C = -228,8

A função lucro é dada, portanto, por:

L(q)=200\sqrt{q}-0,2q^2-228,8

Temos, assim, que:

L(23)=200\sqrt{23}-0,2\cdot23^2-228,8\Rightarrow\boxed{L(23)\approx\text{R\$ }624,57}

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