(ENEM 2011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (– 5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto.

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Respostas

2015-09-01T23:43:10-03:00
1 - Determinar quais dos pontos pertencem à equação da reta y = x + 4
2 - Verificar qual deles está mais próximo do ponto P = (-5, 5)

Alternativas dadas na questão:

A) (-5,0)
B) (-3,1)
C) (-2,1)
D) (0,4)
E) (2,6)

Substituindo os valores na equação, temos:

0 = -5 + 4 ⇒ 0 = -1 ⇒ O ponto (-5,0) ∉ a reta
1 = -3 + 4 ⇒ 1 = 1 ⇒ O ponto (-3,1) ∈ a reta
1 = -2 + 4 ⇒ 1 = 2 ⇒ O ponto (-2,1) ∉ a reta
4 = 0 + 4 ⇒ 4 = 4  ⇒ O ponto (0,4) ∈ a reta
6 = 2 + 4 ⇒ 6 = 6 ⇒ O ponto (2,6) ∈ a reta

Ou seja, os pontos (-3,1),(0,4) e (2,6) pertencem a linha do metrô
Precisamos saber agora qual dista menos de 5km do ponto P

d(-3,1) = √(-5+3)² + (5-1)² = √4+16 = √20 km 
d(0,4)  = √(-5-0)²  + (5-4)² = √25+1 = √26 km
d(2,6)  = √(-5-2)²  + (5-6)² = √49+1 = √50 km

O valor menor que 5km é de √20 km ≈ 4,47 km
Ou seja, a distância do ponto (-3,1) até P (-5,5)

Resposta correta: B) (-3,1)




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5 4 5