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2013-08-01T13:40:50-03:00

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O número 12c5 é divisível por 5 qualquer que seja o valor de c, pois para ser divisível por 5 basta terminar em 5 ou zero.
Já para ser divisível por 3, a soma de seus algarismos deve ser múltiplo de 3
Vamos esgotar as possibilidades:

1 + 2 + 0 + 5 = 8
1 + 2 + 1 + 5 = 9
1 + 2 + 2 + 5 = 10
1 + 2 + 3 + 5 = 11
1 + 2 + 4 + 5 = 12
1 + 2 + 5 + 5 =  13
1 + 2 + 6 + 5 =  14
1 + 2 + 7 + 5 =  15
1 + 2 + 8 + 5 = 16
1 + 2 + 9 + 5 = 17

Logo c pode ser 1, 4 ou 7 e a soma é 1 + 4 + 7 = 12
7 4 7
2013-08-01T15:34:37-03:00

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Olá, Jhezinha.

Números divisíveis por 3 possuem a propriedade de que a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Como  12c5  é divisível por 3, temos então que:

1+2+c+5=3 \alpha , \alpha \in \mathbb{N} \Rightarrow c+8=3 \alpha \Rightarrow c=3 \alpha -8

Como  c>0,  temos que:

3 \alpha -8>0 \Rightarrow 3\alpha>8\Rightarrow \alpha>\frac83\Rightarrow \alpha > 2,666...

Vejamos, agora, quais os possíveis valores que  c  pode assumir:

\begin{cases} \text{Se } \alpha =3:c = 3\alpha - 8=3\cdot3-8=9-8=1\\ \text{Se } \alpha =4:c = 3\alpha - 8=3\cdot4-8=12-8=4\\ \text{Se } \alpha =5:c = 3\alpha - 8=3\cdot5-8=15-8=7\\ \text{Se } \alpha =6:c = 3\alpha - 8=3\cdot6-8=18-8=10\text{ (imposs\'ivel, pois }c\text{ \'e}\\\text{um algarismo solit\'ario apenas; paramos por aqui)}\\ \end{cases}

A soma dos possíveis algarismos que  c  pode assumir é, portanto:

1+4+7=\boxed{12}

Observação: A informação relativa à divisibilidade de  12c5   por 5 é irrelevante, pois qualquer número terminado em 5 é divisível por 5.
3 5 3