1-Mostre que a aplicação de R em R definida por f(x) = x+3 é bijetora. Determine sua inversa!

2-Dada a aplicação f(x) = |x|. Determine f(1-\sqrt2), f-¹([0,3]), f((-1,2]). Esboce cada Situação!


Galerinha precisando disso pra quinta anoite alguém pode me ajudar?

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Respostas

2013-03-13T01:11:57-03:00

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Olá, César,

 

(1) Para mostrar que f(x) é bijetora, devemos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.

 

Prova de que f(x) é injetora (por absurdo):
Suponhamos\ que\ existam\ x_1\neq x_2\ tais\ que\ f(x_1)=f(x_2).
Como\ f(x_1)=f(x_2)\ temos\ que\ f(x_1)-f(x_2)=0.
Mas\ f(x_1)-f(x_2)=x_1 + 3 - x_2 - 3 = x_1 - x_2\neq 0,
pois,\ por\ hip\'otese,\ \ x_1\neq x_2\ (\mathbf{absurdo})
\therefore f\ \'e\ injetora


Definição: f(x) é sobrejetora se: \forall y \in CD, \exists x \in D \mid f(x)=x+3=y.


\mathbf{Prova:}\\Seja\ y \in CD.\\Tomando-se\ x\ \mid x = y - 3,\ temos\ que

f(x)=f(y-3)=y-3+3=y \Rightarrow\\ \forall y \in CD\ \'e\
poss\'ivel\ encontrar\ x\in D \mid f(x)=y
\therefore \ f(x)\ \'e\ sobrejetora
\therefore \ f(x)\ \'e\ \mathbf{bijetora}\ e\ f^{-1}(x)=x-3

 

 

(2)

\begin{cases}& f(x) = x,\ se\ x\geq 0 \\ & f(x) = -x,\ se\ x<0 \end{cases}\\


(a)\ f(1-\sqrt{2})=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1,\ pois\ \sqrt{2} > 1\\\\ (b)\ f^{-1}([0,3])=x,\ pois\ x>0,\ \forall x \in [0,3] \\\\ (c)\ f^{-1}((-1,2])\ n\~ao\ existe,\ pois\ f((-1,2])\ n\~ao\ \'e\ injetora,\\ uma\ vez\ que,\ para\ x_1=-\frac12\ e\ x_2=\frac12,\ temos\ f(x_1)=f(x_2)=\frac12.\\ Como\ f\ n\~ao\ \'e\ injetora \Rightarrow\ f\ n\~ao\ \'e\ bijetora \Rightarrow f\ n\~ao\ \'e\ invers\'ivel