Respostas

2014-07-30T12:33:22-03:00
A) sen(105º). 
Veja que sen(105º) = sen(60º+45º). 

Assim, sabendo-se que sen(a+b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a), então: 

sen(105º)=sen(60º+45º) = sen60*cos(45º)+sen(45)*cos(60º). 

Agora veja que: 

sen(60º) = √(3)/2; cos(45º) = √(2)/2; sen(45º) = √(2)/2; e cos(60º) = 1/2. Assim, fazendo as devidas substituições na nossa expressão acima, temos: 

sen(105º) = √(3)/2*√(2)/2 + √(2)/2*1/2, ou: 
sen(105º) = √(3*√(2)/2*2 + √(2)*1/2*2 
sen(105º) = √(3)√(2)/4 + √(2)/4 , ou: 
sen(105º) = [√(3)*√(2) + √(2)]/4, ou: 
sen(105º) = [√(3*2) + √(2)]/4, ou: 
sen(105º) = [√(6) + √(2)]/4 <--- Esta é a resposta. 

Se quiser dar uma resposta só aproximada, você considera que √(6) = 2,449; e √(2) = 1,414, ficando assim: 

sen(105º) = [2,449 + 1,414]/4 
sen(105º) = [3,863]/4 ,ou apenas: 
sen(105º) = 3,863/4 
sen(105º) = 0,96575 <-- Este seria o valor aproximado do sen(105º). 

b) cos(15º) 

Veja que cos(15º) = cos(45º-30º). 

Assim, sabendo-se que cos(a-b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b), então:

cos(15º) = cos(45º-30º) = cos(45º).cos(30º) + sen(45º).sen(30º). 

Veja que: cos(45º) = √(2)/2; cos(30º) = √(3)/2; sen(45º) = √(2)/2; e sen(30º) = 1/2. 

Assim, fazendo as devidas substituições, temos: 

cos(15º) = √(2)/2*√(3)/2 + √(2)/2)*1/2 , ou: 
cos(15º) = √(2)*√(3)/2*2 + √(2)*1/2*2 , ou: 
cos(15º) = √(2*3)/4 + √(2)/4, ou 
cos(15º) = √(6)/4 + √(2)/4, ou: 
cos(15º) = [√(6) + √(2)]/4 <--- Esta é a resposta. Veja que é igual ao valor de sen(105º), pois as funções seno e cosseno são complementares (veja que 105º = 90º+15º). 

c) tg(75º). 

Veja que tg(75º) = tg(45º+30º) 

Assim, sabendo-se que tg(a+b) = [tga+tgb)/(1-tga*tgb). Logo: 

tg(75º) = tg(45º+30º) = [tg(45º)+tg(30º)]/(1-tg(45º)*tg(30º)) 

Veja que: tg(45º) = 1; e tg(30º) = √(3)/3 . Assim, fazendo as devidas substituições, temos: 

tg(75º) = [1+√(3)/3]/(1-1*√(3)/3)) ,ou: 
tg(75º) = [1+√(3)/3]/(1-√(3)/3) --- mmc no numerador e no denominador é igual a 3. Logo: 

tg(75º) = [(3*1+√(3))/3] / [(3*1 - √(3))/3] 
tg(75º) = [(3+√(3))/3] / [(3-√(3))/3] ---- veja: divisão de frações. Logo: 

tg(75º) = [3+√(3))/3]*[(3/(3-√(3)] --- dividido "3" do denominador com "3" do numerador, ficamos com: 

tg(75º) = [(3+√(3)] / [(3-√(3)] <--- Esta é a resposta. Se quiser racionalizar (dá mais trabalho), você multiplica numerador e denominador por (3+√(3)). 

Finalmente, se quiser dar uma resposta apenas aproximada, você considera que √(3) = 1,732, ficando assim: 

tg(75º) = [3+1,732]/[3-1,732] 
tg(75º) = [4,732]/[1,268], ou apenas: 
tg(75º) = 4,732/1,268 ---- veja que esta divisão dá 3,732 (aproximadamente). Logo: 

tg(75º)_ = 3,732 <--- Esta seria a resposta aproximada para tg(75º).