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Como resolver a equação?

x+y=4
x²+y²=40

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por Janainaguimaraes

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Olá, Janaína.

\begin{cases}x + y = 4\\x^2 + y^2 = 40\end{cases}


Da primeira equação obtemos que:

(x + y)^2 = 4^2 \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 16 \Rightarrow \underbrace{x^2 + y^2}_{=40} + 2xy = 16 \Rightarrow \\\\2xy = 16 - 40 \Rightarrow xy = -\frac{24}2 = -12

Da primeira equação obtemos, também que:

x(x+y)=4x \Rightarrow x^2 + \underbrace{xy}_{=-12} = 4x \Rightarrow x^2-12=4x \Rightarrow x^2-4x-12=0

Resolvendo esta equação de segundo grau:

x=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}2=2\pm\frac{64}2=2\pm4 \Rightarrow \boxed{x=6}\text{ ou }\boxed{x=-2}

Portanto, temos que:

\begin{cases}\text{Se }x=6:x+y=4\Rightarrow 6+y=4\Rightarrow\boxed{y=-2}\\\\\text{Se }x=-2:x+y=4\Rightarrow -2+y=4\Rightarrow\boxed{y=6}\end{cases}\\\\\\\text{Solu\c{c}\~ao: } \boxed{S=\{(x,y)=(6,-2)\text{ ou }(x,y)=(-2,6)\}}
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