Respostas

2013-08-06T20:49:22-03:00
Primeiro, calculamos a diagonal menor, que é a oposta ao ângulo de 30º, usando a Lei dos Cossenos:

a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos(\alpha)\\\\
d^2=5^5+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos(30^{\circ})\\\\
d^2=25+12-20\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\
d^2=37-30\\\\
d^2=7\\\\
d=\sqrt{7}

Como os ângulos adjacentes de um paralelogramo são suplementares, o ângulo oposto à outra diagonal será 180º-30º=150º. Como o cosseno do ângulo suplementar de um ângulo qualquer é igual ao cosseno desse ângulo com o sinal invertido, temos que \cos(150^{\circ})=-\cos(30^{\circ}). Agora, usando a Lei dos Cossenos novamente, calcularemos a diagonal maior:

a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos(\alpha)\\\\ D^2=5^5+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos(150^{\circ})\\\\ D^2=25+12-20\sqrt{3}\cdot(-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\ D^2=37+30\\\\ D^2=67\\\\ D=\sqrt{67}
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Consegui entender, muito obrigada!