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2013-08-09T14:27:37-03:00

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Olá, Thassi.

Como  mn=720=2^4\cdot3^2\cdot5, podemos escrever  m  e  n como um produto de potências de 2, 3 e 5:

\begin{cases}
m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},k_1,k_2,k_3\in\mathbb{N}\\\
n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6},k_4,k_5,k_6\in\mathbb{N}\end{cases}

Como  mn=720, temos que:

2^{k_1+k_4}\cdot3^{k_2+k_5}\cdot5^{k_3+k_6}=2^4\cdot3^2\cdot5 \Rightarrow
\\\\
\begin{cases}
k_1+k_4=4\\
k_2+k_5=2\\
k_3+k_6=1
\end{cases}

Por outro lado, como  \text{mdc}(m,n)=6,  temos que:

\text{mdc}(2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6})=6=2^1\cdot3^1\cdot5^0 \Rightarrow
\\\\
\begin{cases}
\text{min}(k_1,k_4)=1\\
\text{min}(k_2,k_5)=1\\
\text{min}(k_3,k_6)=0
\end{cases}

De  k_2+k_5=2  e  \text{min}(k_2,k_5)=1,  obtemos que:

\boxed{k_2=k_5=1}

Como  \text{mdc}(n,20)=4, temos que  n  é múltiplo de 4.
Ou seja,  n  é múltiplo de  2^2.

Como  n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6},  então  k_4\geq2.

Como  \text{min}(k_1,k_4)=1,  então  \boxed{k_1=1}.

Como  k_1+k_4=4,  então  \boxed{k_4=3}.

Portanto:

\begin{cases}
m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3}=2^1\cdot3^1\cdot5^{k_3}=6\cdot5^{k_3}
\\
n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6}=2^3\cdot3^1\cdot5^{k_6}=24\cdot5^{k_6}
\end{cases}


Há, assim, duas respostas possíveis:

\begin{cases}
\text{. Se }k_3=0\text{ e }k_6=1:
\begin{cases}
m=6\cdot5^0=6\\
n=24\cdot5^1=120
\end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=126}
\\\\
\text{. Se }k_3=1\text{ e }k_6=0:
\begin{cases}
m=6\cdot5^1=30\\
n=24\cdot5^0=24
\end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=54}
\end{cases}

Como  \text{mdc}(120,20)=20\neq4\text{ e }\text{mdc}(24,20)=4,  então a única resposta possível é  n=24  e  m=30,  ou seja:

\boxed{m+n=54}


Resposta: letra "b".
5 5 5