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A melhor resposta!
2014-08-13T06:06:09-03:00
Acho q agora acertei rs 

O enunciado diz que a tábua e a mola estão em equilibrio quando a tábua está na posição horizontal... 
partindo dai

se estão em equilibrio então \Sigma T =0..somatória dos torques = 0

aplicando o torque em relação ao pivo
\boxed{ \Sigma T=K*x_o*d -(Pb)* d} =0}

K = constante da mola
x0 = é a deformação da mola quando o sistema está em equilibrio
d = distancia = L ...L é o comprimento da barra..que é a distancia da força el..até o pivo

Pb = peso da barra = m*g (negativo porque é contrario ao movimento 
d = distancia = L/2  (porque o peso da barra se concentra no meio dela..e essa será a distancia até o pivo )

a equação quando o sistema está em equilibrio fica
\boxed{K*x_0*L-m*g* \frac{L}{2}=0 }

isolando x0 porque é o unico valor que não conhecemos fica
K*x_0*L-m*g* \frac{L}{2}=0\\\\K*x_0*L=m*g* \frac{L}{2} \\\\x_0= \frac{m*g*L}{ \frac{2}{K*L} } \\\\x_0= \frac{m*g}{2k}
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quando o sistema começa a oscilar em torno da posição de equilibrio
temos
a tabua se desloca pra cima com um pequeno angulo ..a distancia L ficaria 
L=L*sen( \frac{ \pi }{2} -\theta)\\\\L=L*cos(\theta)
e tambem a mola e a tabua irão oscilar com uma amplitude X
L*sen(\theta)-x_0=X 

X é usado o sistema está oscilando 

substituindo os valores de L por LcosФ
e X por LsenФ -x0 
e substituindo o valorr de x0 
e usando valores aproximados porque o angulo é muito pequeno
 cos(\theta)\approx 1\\\\sen(\theta) \approx (\theta)
e neste momento a barra e a mola terão torques negativos

-K*X*L-m*g* \frac{L}{2}\\\\-K*(L*sen(\theta)-x_0)*L*cos(\theta)= \frac{m*g*L*cos(\theta)}{2} \\\\-K(L*\theta-x_0)*L*1+ \frac{m*g*L*1}{2} \\\\(-KL\theta+K*x_0)*L+ \frac{m*g*L}{2}\\\\-KL^2\theta+Kx_0L+\frac{m*g*L}{2}\\\\-KL^2\theta+ \frac{Km*gL}{2K} +\frac{m*g*L}{2}\\\\\boxed{-K*L^2*\theta}=\Sigma T
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o momento de inercia para um sistesma como esse é determinado
\boxed{I = \frac{m*L^2}{3} }

\Sigma T=I *\alpha \\\\-KL^2\theta= \frac{m*L^2}{3} * \frac{d^2\theta}{dt^2} \\\\ \frac{-KL^2\theta}{ \frac{m*L^2}{3} } =\frac{d^2\theta}{dt^2}\\\\\\ \frac{-3K\theta}{m} =\frac{d^2\theta}{dt^2}\to \omega^2= \frac{3K}{m} \to \boxed{\boxed{\omega = \sqrt{ \frac{3K}{m} } }} \\\\\\\\ K = 100\\ m = 5\\\\ \omega = \sqrt{ \frac{3*100}{5} } =7,745
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Andres tem como explicar essa parte da decomposição do L ?
"a tabua se desloca pra cima com um pequeno angulo ..a distancia L ficaria " ?
Estamos atrás de uma equação para a frequencia/frequencia angular, mas não entendi a decomposição do L cos e L sen,